차원 조절

발산하는 적분을 임의의 복소 차원으로 해석적 연속하는, 조절의 한 방법

양자장론에서 차원 조절(次元調節, dimensional regularization)이란 발산하는 적분을 임의의 복소 차원으로 해석적 연속하는, 조절의 한 방법이다. 게이지 대칭을 보존하므로, 게이지 이론에서 유용하다. 독특하게도, 로그적 발산보다 더 큰 발산을 숨긴다. 해석적으로 연속할 수 없는, 레비치비타 기호를 포함한 항(강력CP 위반 항 등)에는 적용할 수 없다.

정의

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대부분의 상대론라그랑지언은 임의의 양의 정수 차원에서 쓸 수 있다. (단, 레비치비타 기호 기호 따위는 특정한 차원에서만 쓸 수 있기 때문에 예외다.) 따라서 파인먼 도표를 차원에 대한 함수로 계산할 수 있다. 이렇게 얻어진 함수는 정칙함수이다. 따라서, 임의의 복소 차원  해석적 연속할 수 있다. 따라서, 파인먼 도표를   근처에서 테일러 급수로 쓸 수 있다. 이렇게 하면  의 급수로 도표가 발산하는 정도를 나타낼 수 있다. 이를 차원 조절이라고 부른다.

차원 조절로 얻는 식은 모두 로그로 발산한다 (즉, 재규격화 에너지  를 포함하여 쓰면,  으로 나타내어지는 발산은 재규격화 에너지의 로그에 비례한다). 이는 차원 조절이 선형, 이차, 삼차 등의 발산을 숨기기 때문이다. 차원 조절 뒤엔 일반적으로 최소뺄셈방식 또는 수정 최소뺄셈방식으로 재규격화한다.

예제

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예를 들어, 다음과 같이 4차원에서 로그적으로 발산하는 고리 적분을 생각해 보자.

 

일단, 차원을 4-ε으로 적고, ε을 0으로 보내자. 이렇게 하면 다음을 얻는다.

 

이렇게 하면 적분이 수렴하고, 모든 값이 유한하다.

역사

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1972년 헤라르뒤스 엇호프트마르티뉘스 펠트만[1][2]과 카를로스 볼리니(Carlos Bollini), 후안 호세 잠비아기(Juan Jose Giambiagi)[3], 애시모어(J. F. Ashmore)[4] 가 도입하였다. 가 도입하였다. 엇호프트와 펠트만은 양-밀스 이론재규격화하기 위해 차원 조절을 도입하였다.

같이 보기

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규칙화에는 여러 방법이 있는데, 차원 조절은 그 중 가장 많이 쓰이는 방법 중 하나이다. 다른 방법으로는 파울리-비야르 조절이나 격자조절 따위가 있다.

각주

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  1. ’t Hooft, G.; M. Veltman (1972), “Regularization and renormalization of gauge fields” (PDF), 《Nuclear Physics B》 (영어) 44 (1): 189–213, Bibcode:1972NuPhB..44..189T, doi:10.1016/0550-3213(72)90279-9, ISSN 0550-3213 
  2. ’t Hooft, G. (1984년 4월 16일). “This week’s citation classic” (PDF). 《ISI Current Contents》 (영어) 16: 16–16. 
  3. Bollini, Carlos; Juan Jose Giambiagi (1972년 11월 11일). “Dimensional renormalization: The number of dimensions as a regularizing parameter”. 《Il Nuovo Cimento B》 (영어) 12: 20–26. doi:10.1007/BF02895558. 
  4. Ashmore, J. F. (1972년 6월 24일). “A method of gauge-invariant regularization”. 《Lettere al Nuovo Cimento》 (영어) 4 (8): 289–90. doi:10.1007/BF02824407. ISSN 0375-930X.