수학 에서 차 (次, degree ) 또는 차수 (次數, exponent)는 문자를 포함한 항에서 문자가 곱해진 개수 를 의미한다. 어떤 대상이 가진 성질의 정도를 나타내는 것으로 보통 이차방정식 이나 삼차방정식 , 이차확대체처럼 다항식 의 종류나 확대체 의 종류를 나타낼 때 자주 쓰인다.
다항식을 동류항 끼리 계산하여 간단히 하는 것을 "다항식을 정리한다"라고 한다. 다항식을 어떤 문자에 대해 정리하였을 때, 그 문자의 가장 큰 거듭제곱 지수를 그 다항식의 차수 라 한다. 다항식
f
{\displaystyle f}
deg
f
{\displaystyle \deg \,f}
예를 들어,
x
2
+
10
x
+
16
{\displaystyle x^{2}+10x+16}
(
x
3
+
2
x
2
+
3
)
−
(
x
3
+
2
x
+
3
)
{\displaystyle (x^{3}+2x^{2}+3)-(x^{3}+2x+3)}
x
3
{\displaystyle x^{3}}
(
x
3
+
2
x
2
+
3
)
−
(
x
3
+
2
x
+
3
)
=
2
x
2
−
2
x
{\displaystyle (x^{3}+2x^{2}+3)-(x^{3}+2x+3)=2x^{2}-2x}
이므로, 이 다항식의 차수는 2이다.
두 개 이상의 문자에 대한 다항식은, 각 항마다 각 문자에 대한 지수를 더하여 생각한다.
예를 들어, 두 문자
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
x
2
y
3
+
x
3
+
y
4
+
1
{\displaystyle x^{2}y^{3}+x^{3}+y^{4}+1}
항
(
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
x
2
y
3
{\displaystyle x^{2}y^{3}}
5
x
3
=
x
3
y
0
{\displaystyle x^{3}=x^{3}y^{0}}
3
y
4
=
x
0
y
4
{\displaystyle y^{4}=x^{0}y^{4}}
4
1
=
x
0
y
0
{\displaystyle 1=x^{0}y^{0}}
0
가장 큰 값이 5이므로, 이 다항식의 차수는 5가 된다.
일반적으로 두 다항식
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
deg
(
f
+
g
)
≤
max
(
deg
f
,
deg
g
)
{\displaystyle \deg(f+g)\leq \max(\deg f,\deg g)}
deg
(
f
g
)
=
deg
f
+
deg
g
{\displaystyle \deg(fg)=\deg \,f+\deg \,g}
예를 들어,
f
(
x
)
=
x
2
+
1
,
g
(
x
)
=
x
+
2
{\displaystyle f(x)=x^{2}+1,g(x)=x+2}
f
(
x
)
+
g
(
x
)
=
x
2
+
x
+
3
{\displaystyle f(x)+g(x)=x^{2}+x+3}
f
(
x
)
g
(
x
)
=
x
3
+
2
x
2
+
x
+
2
{\displaystyle f(x)g(x)=x^{3}+2x^{2}+x+2}
이므로 위의 성질이 성립한다.
상수의 차수는 0이지만, 예외적으로 상수 0의 차수를
−
∞
{\displaystyle -\infty }
a
{\displaystyle a}
−
∞
<
a
,
−
∞
+
a
=
−
∞
{\displaystyle -\infty <a,\ -\infty +a=-\infty }
이므로 차수에 대한 위의 두 성질이 다항식에 0을 더하거나 곱하는 경우에도 성립한다.
![{\displaystyle [K:F]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/390428d1017d86ecdcac534cd25b869f6923dd6c)
![{\displaystyle [\mathbf {Q} ({\sqrt {2}}):\mathbf {Q} ]=2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9da989df0d0e055da25b38201c421e9b9e227210)
이 부분의 본문은 연속함수의 차수입니다.