카라추바 알고리즘

카라추바 알고리즘은 소련의 수학자 아나톨리 알렉세예비치 카라추바가 1960년에 발견하고 1962년에 공개한, 큰 수에 대한 효과적인 곱셈 알고리즘이다. 이 방법은 두 n자리 수의 곱셈을 최대 $3n^{\log _{2}3}\approx 3n^{1.585}$(n이 2의 거듭제곱일 때는 정확하게 $n^{\log _{2}3}$와 일치한다)개의 한 자리 곱셈으로 줄인다. 그러므로 이 방법은 n²개의 한 자리 곱셈을 해야하는 고전적인 곱셈 방법보다 빠르다. 만약 n = 2¹⁰ = 1024 라면, 고전적인 방법에서는 (2¹⁰)² = 1,048,576 회의 한 자리 곱셈이 필요하지만, 이 방법으로는 3¹⁰ = 59,049 회의 한 자리 곱셈만이 필요하다.

톰-쿡 곱셈법은 카라추바 알고리즘의 일반적인 형태이다. 충분히 큰 n에 대해 카라추바 알고리즘의 복잡도는 쇤하게-슈트라센 알고리즘보다 크다.

카라추바 알고리즘은 분할 정복 알고리즘의 좋은 예이다.

역사

기본적으로 두 n자리 수의 곱셈은 n²에 비례하는 (점근 표기법으로는 $\Theta (n^{2})$)횟수의 기초 연산이 필요하다. 1952년 안드레이 콜모고로프는 고전적인 알고리즘이 $\Omega (n^{2})$의 연산 횟수로 점근적으로 최적화 될 수 있을 것이라고 추측했다.

1960년 가을, 콜모고로프는 모스크바 대학교에서 사이버네틱스에 관한 수학 문제들에 대한 세미나를 열었다. 그곳에서 $\Omega (n^{2})$ 추측과 다른 계산 복잡도 이론에 대한 문제들을 언급했다. 그 후 1주 만에 23살 학생 카라추바가 두 n자리수의 곱셈을 $\Theta (n^{\log _{2}3})$회의 기초 연산을 통해 행할 수 있는 분할 정복 알고리즘을 발견함으로써, 그 추측을 반증하였다. 콜모고로프는 그 발견에 매우 당황했다. 그는 마지막이 될 다음 세미나에서 이것을 알렸다.

이 방법은 1962년 소비에트 연방 과학 학회(Доклады Академии наук СССР)에 발표되었다. 그 논문은 콜모고로프가 유리 오프만과 협력하여 썼지만, 카라추바와 오프만이 저자로 올라갔다. 카라추바는 발표자로부터 사본을 받고 그 사실을 알게 되었다.

알고리즘

기본 단계

카라추바 알고리즘의 기본 단계는 큰 두 수 x와 y의 곱을 자릿수가 x, y의 절반인 수들의 곱 3번과 덧셈과 시프트 연산을 이용해 계산하는 것이다.

x와 y를 B진법의 n자리수라고 하자. n보다 작은 양수 m에 대해 다음과 같이 x, y를 쪼갤 수 있다.

x = x₁B^m + x₀

y = y₁B^m + y₀

(단, x₀과 y₀는 B^m보다 작다.)

z₂ = x₁y₁

z₁ = x₁y₀ + x₀y₁

z₀ = x₀y₀

라고 할 때, x와 y의 곱은

xy = (x₁B^m + x₀)(y₁B^m + y₀)

= z₂ B^2m + z₁ B^m + z₀

이 식은 4번의 곱셈을 해야한다. 카라추바는 덧셈을 몇 번 함으로써, xy를 3번의 곱셈을 통해 구할 수 있다는 걸 알았다.

z₂ = x₁y₁ 라 하자.

z₀ = x₀y₀ 라 하자.

z₁ = (x₁y₁ + x₁y₀ + x₀y₁ + x₀y₀) - x₁y₁ - x₀y₀ = x₁y₀ + x₀y₁

이므로

z₁ = (x₁ + x₀)(y₁ + y₀) − z₂ − z₀ 라 할 수 있다.

예

B = 10 이라하고, m = 2 라 하자. 1234와 5678의 곱을 구하고 싶으면,

12 34 = 12 × 10² + 34

56 78 = 56 × 10² + 78

z₂ = 12 × 56 = 672

z₀ = 34 × 78 = 2652

z₁ = (12 + 34)(56 + 78) − z₂ − z₀ = 46 × 134 − 672 − 2652 = 2840

결과 = z₂ × 10^2×2 + z₁ × 10² + z₀ = 672 × 10000 + 2840 × 100 + 2652 = 7006652

재귀적 활용

만약 n이 4 이상이면, 카라추바 알고리즘 기본 단계를 통해 n보다 작은 자리의 수에 대한 곱셈 3번을 하게 된다. 그러므로 재귀 호출을 통해 그 곱을 계산할 수 있다. 재귀 호출은 곱하는 수가 단번에 계산될 정도로 작아질 때까지 적용할 수 있다.

예를 들어 32비트끼리 곱하는 곱셈기에서 B = 2³¹ = 2,147,483,648 or B = 10⁹ = 1,000,000,000를 선택하고 각 자리를 독립된 32비트 단위로 저장할 수 있다. 그러면 x₁ + x₀와 y₁ + y₀에 여분의 자리올림 비트가 필요없고, 카라추바 재귀는 숫자가 한 자리가 될 때까지 반복가능하다.

효율성 분석

카라추바 알고리즘 기본단계는 모든 B와 m에 대해 작동하지만, m이 n/2일 때 가장 효율적이다. 특히 양의 정수 k에 대해 n이 2^k이고, 재귀가 n이 1일 때 끝난다면, 한 자리 곱셈의 횟수는 3^k이 된다(n^c에서 c = log₂3가 되므로).

카라추바 알고리즘 기본단계의 덧셈, 뺄셈, 시프트 연산(B의 거듭제곱으로 곱하는 것)은 n에 비례하는 시간이 걸리므로, 그 비용의 비중은 n이 증가함에 따라 무시할 정도로 줄어든다. 더 정확하게 t(n)이 두 n자리수의 곱셈에 필요한 기초연산의 총 횟수라고 할 때 다음과 같다.

t(n) = 3 t($\lceil$n/2$\rceil$) + cn + d

(c와 d는 적당한 상수) 이런 재귀적 관계를 마스터 정리를 통해 풀면, 점근 표기법으로 t(n) = $\Theta$(n^{log(3)/log(2)})이라는 것을 알 수 있다.

충분히 큰 n에 대해, 카라추바 알고리즘은 고전적인 곱셈법보다 적은 횟수의 시프트 연산과 한 자리 곱셈을 행한다. 하지만 작은 n에 대하여는 추가적인 덧셈과 시프트 연산 때문에 고전적인 곱셈법보다 속도가 느려진다. 그 경계는 컴퓨터의 플랫폼에 따라 달라진다. 대략적으로 곱하는 수가 2³²⁰ ≈ 2×10^⁹⁶ 이상일 때 카라추바 알고리즘이 더 빠르다.[1][2]

각주

• Karacuba A. A. Berechnungen und die Kompliziertheit von Beziehungen (German). Elektron. Informationsverarb. Kybernetik, 11, 603–606 (1975).

외부 링크

• 카라추바 곱셈 알고리즘 - 웹 기반 계산기 (GPL)
• MathWorld의 카라추바 알고리즘
• Bernstein, D. J., "수학자를 위한 여러 자리 수의 곱셈법". 카라추바 알고리즘을 비롯한 여러 곱셈 알고리즘.
• "중국식 곱셈법" - 카라추바 알고리즘의 실용적인 활용 사례.