코시 부등식

복소해석학에서 코시 부등식(-不等式, 영어: Cauchy's inequality) 또는 코시 추정(-推定, 영어: Cauchy's estimate)은 정칙 함수의 테일러 급수 계수의 상계를 제시하는 부등식이다.

정의

연결 열린집합 $D\subseteq \mathbb {C}$ 에 정의된 정칙 함수 $f\colon D\to \mathbb {C}$ 가 주어졌다고 하자. 코시 부등식에 따르면, 임의의 음이 아닌 정수 $n$ 및 $z_{0}\in D$ 및 $0<r<d(z_{0},\partial D)$ 에 대하여, 다음이 성립한다.

|f^{(n)}(z_{0})|\leq {\frac {n!}{r^{n}}}\sup _{|z-z_{0}|=r}|f(z)|

여기서

d(z_{0},\partial D)=\inf _{z\in \partial D}|z-z_{0}|

이다.

증명

코시 부등식은 코시 적분 공식으로부터 다음과 같이 간단히 유도된다.

{\begin{aligned}|f^{(n)}(z_{0})|&=\left|{\frac {n!}{2\pi i}}\int _{|z-z_{0}|=r}{\frac {f(z)}{(z-z_{0})^{n+1}}}\mathrm {d} z\right|\\&\leq {\frac {n!}{2\pi }}\int _{|z-z_{0}|=r}{\frac {|f(z)|}{|z-z_{0}|^{n+1}}}\left|\mathrm {d} z\right|\\&\leq {\frac {n!}{2\pi r^{n+1}}}\cdot \sup _{|z-z_{0}|=r}|f(z)|\cdot \int _{|z-z_{0}|=r}|\mathrm {d} z|\\&={\frac {n!}{r^{n}}}\sup _{|z-z_{0}|=r}|f(z)|\end{aligned}}

따름정리

콤팩트 집합 위의 부등식

연결 열린집합 $D\subseteq \mathbb {C}$ 에 정의된 정칙 함수 $f\colon D\to \mathbb {C}$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 음이 아닌 정수 $n$ 및 콤팩트 집합 $K\subseteq D$ 및 $z_{0}\in K$ 에 대하여, 다음이 성립한다.^[1]^{:102, §3.5, 정리2}

|f^{(n)}(z_{0})|\leq {\frac {n!}{d(K,\partial D)^{n}}}\sup _{z\in D}|f(z)|

여기서

d(K,\partial D)=\inf _{z\in K,\;z'\in \partial D}|z-z'|

이다.

이는 코시 부등식에 의하여, 임의의 $0<r<d(K,\partial D)\leq d(z_{0},\partial D)$ 에 대하여

|f^{(n)}(z_{0})|\leq {\frac {n!}{r^{n}}}\sup _{|z-z_{0}|=r}|f(z)|\leq {\frac {n!}{r^{n}}}\sup _{z\in D}|f(z)|

이므로,

|f^{(n)}(z_{0})|\leq \lim _{r\to d(K,\partial D)^{-}}{\frac {n!}{r^{n}}}\sup _{z\in D}|f(z)|={\frac {n!}{d(K,\partial D)^{n}}}\sup _{z\in D}|f(z)|

이기 때문이다.

콤팩트 수렴 정칙 함수열의 성질

연결 열린 집합 $D\subseteq \mathbb {C}$ 에 정의된 정칙 함수열 $f_{n}\colon D\to \mathbb {C}$ 가 함수 $f\colon D\to \mathbb {C}$ 로 콤팩트 수렴한다고 하자. (이 경우 $f$ 는 정칙 함수이다.) 그렇다면, 임의의 음이 아닌 정수 $k$ 에 대하여, $f_{n}^{(k)}$ 역시 $f^{(k)}$ 로 콤팩트 수렴한다.