쿠라토프스키 모노이드

일반위상수학에서 쿠라토프스키 모노이드(영어: Kuratowski monoid)는 주어진 위상 공간의 부분 집합 위의 폐포 · 내부 · 여집합 연산들로 구성된 모노이드이다.

정의

위상 공간 $X$가 주어졌다고 하자. 이제, 문자 $\{{\mathsf {k}},{\mathsf {c}}\}$로 생성되는 자유 모노이드(클레이니 스타) $\{{\mathsf {k}},{\mathsf {c}}\}^{*}$가 멱집합 $\operatorname {Pow} (X)$ 위에 다음과 같이 작용한다고 하자.

${\mathsf {k}}\colon S\mapsto \operatorname {cl} (S)$

${\mathsf {c}}\colon S\mapsto X\setminus S$

즉, ${\mathsf {k}}$는 폐포 연산이며, ${\mathsf {c}}$는 여집합 연산이다.

이제, $\operatorname {Pow} (X)$ 위에 똑같이 작용하는 연산들을 서로 동치로 간주하자.

$s\sim t\iff \forall S\subseteq X\colon s(S)=t(S)\qquad (s,t\in \{{\mathsf {k}},{\mathsf {c}}\}^{*})$

이는 합동 관계를 이루며, 이에 대한 몫 모노이드 $\{{\mathsf {k}},{\mathsf {c}}\}^{*}/\sim$를 $X$의 쿠라토프스키 모노이드(영어: Kuratowski monoid)라고 한다.

분류

가장 일반적인 쿠라토프스키 모노이드

가장 일반적인 쿠라토프스키 모노이드는 14개의 원소를 가지며, 다음과 같은 세 항등식으로 정의된다.^{:9, Theorem 1.1:Theorem 1.1} ($\epsilon$은 길이 0의 문자열이다.)

• (폐포의 멱등성) ${\mathsf {kk}}={\mathsf {k}}$
• (여집합의 대합성) ${\mathsf {cc}}=\epsilon$
• (폐포의 내부의 정칙성) ${\mathsf {kckckck}}={\mathsf {kck}}$
  • 편의상, 내부 연산 ${\mathsf {i}}={\mathsf {ckc}}$를 정의하면, 이는 ${\mathsf {ikik}}={\mathsf {ik}}$와 나머지 두 항등식으로부터 함의된다. 즉, 이는 폐포의 내부가 항상 정칙 열린집합임을 나타낸다.

이 사실을 쿠라토프스키 14개 집합 정리(Kuratowski十四個集合定理, 영어: Kuratowski 14-set theorem)라고 한다. 이 모노이드를 $M_{\text{K}}$라고 표기하자. 즉, 쿠라토프스키 14개 집합 정리에 등장하는 14개의 집합들은 다음과 같다.

문자열	설명	$S$ 위의 작용	문자열	설명	$S$ 위의 작용
$\epsilon$	원래 집합	$S$	${\mathsf {c}}$	여집합	$X\setminus S$
${\mathsf {k}}$	폐포	$\operatorname {cl} S$	${\mathsf {ck}}$	폐포의 여집합	$X\setminus \operatorname {cl} S$
${\mathsf {ckc}}$	내부	$\operatorname {int} S$	${\mathsf {kc}}$	내부의 여집합	$X\setminus \operatorname {int} S$
${\mathsf {kckc}}$	내부의 폐포	$\operatorname {cl} (\operatorname {int} S)$	${\mathsf {ckckc}}$	내부의 폐포의 여집합	$X\setminus \operatorname {cl} (\operatorname {int} S)$
${\mathsf {ckck}}$	폐포의 내부	$\operatorname {int} (\operatorname {cl} S)$	${\mathsf {kck}}$	폐포의 내부의 여집합	$X\setminus \operatorname {int} (\operatorname {cl} S)$
${\mathsf {ckckckc}}$	내부의 폐포의 내부	$\operatorname {int} (\operatorname {cl} (\operatorname {int} S))$	${\mathsf {kckckc}}$	내부의 폐포의 내부의 여집합	$X\setminus \operatorname {int} (\operatorname {cl} (\operatorname {int} S))$
${\mathsf {kckck}}$	폐포의 내부의 폐포	$\operatorname {cl} (\operatorname {int} (\operatorname {cl} S))$	${\mathsf {ckckck}}$	폐포의 내부의 폐포의 여집합	$X\setminus \operatorname {cl} (\operatorname {int} (\operatorname {cl} S))$

그렇다면, 임의의 위상 공간의 임의의 부분 집합의 쿠라토프스키 모노이드는 $M_{\text{K}}$의 몫 모노이드이다.

이들 사이의 포함 관계는 다음과 같다.^{:11, Figure 1.1}

${\begin{matrix}\operatorname {int} (\operatorname {cl} S)&\subset &\operatorname {cl} (\operatorname {int} (\operatorname {cl} S))&\subset &\operatorname {cl} S\\\cup &&\cup \\\operatorname {int} (\operatorname {cl} (\operatorname {int} S))&\subset &\operatorname {cl} (\operatorname {int} S)&&\cup \\\cup \\\operatorname {int} S&&\subset &&S\end{matrix}}$

위상 공간의 가능한 쿠라토프스키 모노이드

임의의 위상 공간의 쿠라토프스키 모노이드는 다음 7가지 가운데 하나이다.^{:12, Theorem 2.1}

• ㈎ $M_{\text{K}}$ (가장 일반적인 쿠라토프스키 모노이드)
• ㈏ 크기 10의 모노이드. 이는 ${\mathsf {kckck}}={\mathsf {kckc}}$로 생성되는 합동 관계에 대한 $M_{\text{K}}$의 몫 모노이드이다.
• ㈐ 크기 10의 모노이드. 이는 ${\mathsf {kckck}}={\mathsf {ckck}}$로 생성되는 합동 관계에 대한 $M_{\text{K}}$의 몫 모노이드이다.
• ㈑ 크기 8의 모노이드. 이는 ${\mathsf {ckck}}={\mathsf {kckc}}$로 생성되는 합동 관계에 대한 $M_{\text{K}}$의 몫 모노이드이다.
• ㈒ 크기 6의 모노이드. 이는 ${\mathsf {kck}}={\mathsf {ck}}$로 생성되는 합동 관계에 대한 $M_{\text{K}}$의 몫 모노이드이다. 위상 공간이 이러한 쿠라토프스키 모노이드를 가질 필요 충분 조건은 모든 열린집합이 열린닫힌집합이지만 이산 공간이 아닌 것이다.
• ㈓ 크기 2의 모노이드 (2차 순환군). 이는 ${\mathsf {k}}=\epsilon$로 생성되는 합동 관계에 대한 $M_{\text{K}}$의 몫 모노이드이다. 위상 공간이 이러한 쿠라토프스키 모노이드를 가질 필요 충분 조건은 공집합이 아닌 이산 공간인 것이다.
• ㈔ 크기 1의 모노이드 (자명군). 이러한 쿠라토프스키 모노이드를 가지는 위상 공간은 공집합 밖에 없다.

㈎		㈏		㈐		㈑		㈒		㈓		㈔
$\epsilon$	${\mathsf {c}}$	$\epsilon$	${\mathsf {c}}$	$\epsilon$	${\mathsf {c}}$	$\epsilon$	${\mathsf {c}}$	$\epsilon$	${\mathsf {c}}$	$\epsilon$	${\mathsf {c}}$	$\epsilon$
${\mathsf {k}}$	${\mathsf {ck}}$	${\mathsf {k}}$	${\mathsf {ck}}$	${\mathsf {k}}$	${\mathsf {ck}}$	${\mathsf {k}}$	${\mathsf {ck}}$	${\mathsf {k}}$	${\mathsf {ck}}$
${\mathsf {ckck}}$	${\mathsf {kck}}$	${\mathsf {ckck}}$	${\mathsf {kck}}$	${\mathsf {ckck}}$	${\mathsf {kck}}$	${\mathsf {ckck}}$	${\mathsf {kck}}$
${\mathsf {kckck}}$	${\mathsf {ckckck}}$	${\mathsf {kckc}}$	${\mathsf {ckckc}}$
${\mathsf {kckc}}$	${\mathsf {ckckc}}$			${\mathsf {kckc}}$	${\mathsf {ckckc}}$			${\mathsf {ckc}}$	${\mathsf {kc}}$
${\mathsf {ckckckc}}$	${\mathsf {kckckc}}$	${\mathsf {ckck}}$	${\mathsf {kck}}$
${\mathsf {ckc}}$	${\mathsf {kc}}$	${\mathsf {ckc}}$	${\mathsf {kc}}$	${\mathsf {ckc}}$	${\mathsf {kc}}$	${\mathsf {ckc}}$	${\mathsf {kc}}$

성질

조밀 집합과 유사하게 정의되는 특별한 부분 집합

$M_{\text{K}}$의 원소 $s\in M_{\text{K}}$에 대하여, $s(S)=\varnothing$이 되는 특별한 부분 집합 $S\subseteq X$을 생각할 수 있다. 이렇게 정의할 수 있는 특별한 부분 집합들의 족은 6개가 있으며, 다음과 같다.

문자열 $s$	$s(S)=\varnothing$인 부분 집합 $S$	문자열 $s$	$s(S)=\varnothing$인 부분 집합 $S$
$\epsilon$	공집합	${\mathsf {c}}$	공집합의 여집합
${\mathsf {k}}$		${\mathsf {kc}}$
${\mathsf {ckck}}$	조밀한 곳이 없는 집합	${\mathsf {ckckc}}$	조밀한 곳이 없는 집합의 여집합
${\mathsf {kckck}}$		${\mathsf {kckckc}}$
${\mathsf {ckc}}$	조밀 집합의 여집합	${\mathsf {ck}}$	조밀 집합
${\mathsf {kckc}}$		${\mathsf {kck}}$
${\mathsf {ckckckc}}$		${\mathsf {ckckck}}$

즉, 다음과 같은 함의 관계가 성립함을 알 수 있다.

조밀 집합의 여집합 ⇒ 조밀한 곳이 없는 집합 ⇒ 공집합

조밀 집합 ⇒ 조밀한 곳이 없는 집합의 여집합 ⇒ 공집합의 여집합

열린집합·닫힌집합과 유사하게 정의되는 특별한 부분 집합

마찬가지로, $M_{\text{K}}$의 원소 $s\in M_{\text{K}}$에 대하여, $s(S)=S$가 되는 특별한 부분 집합 $S\subseteq X$을 생각할 수 있다. $s$가 ${\mathsf {c}}$를 짝수 개 포함한다고 가정하면, 이렇게 정의할 수 있는 특별한 부분 집합들의 족은 5개가 있으며, 다음과 같다.

문자열 $s$	$s(S)=S$인 부분 집합 $S$	문자열 $s$	$s(S)=S$인 부분 집합 $S$
$\epsilon$	(임의의 부분 집합)
${\mathsf {ckc}}$	열린집합	${\mathsf {k}}$	닫힌집합
${\mathsf {ckck}}$	정칙 열린집합	${\mathsf {kckc}}$	정칙 닫힌집합
${\mathsf {ckckckc}}$		${\mathsf {kckck}}$

즉, 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

	⇗	정칙 열린집합 ⇒ 열린집합	⇘
열린닫힌집합				부분 집합
	⇘	정칙 닫힌집합 ⇒ 닫힌집합	⇗

만약 $s$가 ${\mathsf {c}}$를 홀수 개 포함한다면, $s(S)=S$인 것은 $S=X=\varnothing$인 경우 밖에는 불가능하다.

증명:

$X\neq \varnothing$이라고 가정하자. 다음과 같은 7개 경우가 있다.

• (0) ${\mathsf {c}}$

  당연히 불가능하다.

• (1) ${\mathsf {kc}}={\mathsf {ci}}$

  이 경우, $\varnothing =S\setminus S=S\setminus {\mathsf {ci}}(S)={\mathsf {i}}(S)$이다. 따라서 $S={\mathsf {ci}}(S)={\mathsf {c}}(\varnothing )=X$이어야 한다. 그런데 $X=S={\mathsf {ci}}(X)=\varnothing$이므로 이는 불가능하다.

• (1′) ${\mathsf {kck}}={\mathsf {kic}}={\mathsf {cik}}$

  이 경우, $S$는 정칙 닫힌집합이므로 $S={\mathsf {cik}}(S)={\mathsf {ci}}(S)$인데, 이는 경우 (1)이다.

• (1″) ${\mathsf {kckckc}}={\mathsf {kikc}}={\mathsf {ciki}}$

  이 경우, $S$는 정칙 닫힌집합이므로 $S={\mathsf {ciki}}(S)={\mathsf {ci}}(S)$인데, 이는 경우 (1)이다.

• (2) ${\mathsf {ck}}$

  당연히 불가능하다.

• (2′) ${\mathsf {ckckc}}={\mathsf {ikc}}={\mathsf {cki}}$

  이 경우 $S$는 정칙 열린집합이므로, $S={\mathsf {cki}}(S)={\mathsf {ck}}(S)$인데, 이는 경우 (2)이다.

• (2″) ${\mathsf {ckckck}}={\mathsf {ikic}}={\mathsf {ckik}}$

  이 경우 $S$는 정칙 열린집합이므로, $S={\mathsf {ckik}}(S)={\mathsf {ck}}(S)$인데, 이는 경우 (2)이다.

예

실수선의 쿠라토프스키 모노이드는 $M_{\text{K}}$이다. 구체적으로, 실수선의 다음과 같은 부분 집합을 생각하자.

$S=(0,1)\cup (1,2)\cup \{3\}\cup \left([4,5]\cap \mathbb {Q} \right)\subseteq \mathbb {R}$

그렇다면, $M_{\text{K}}$는 $S$ 위에 서로 다르게 작용한다.

역사

쿠라토프스키 14개 집합 정리는 카지미에시 쿠라토프스키가 1922년에 증명하였다.

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Kuratowski’s closure–complement problem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Bowron, Mark (2015년 1월 17일). “Kuratowski’s closure–complement cornucopia” (영어).