선형대수학 에서 크래머 법칙 (Cramer法則, 영어 : Cramer's rule ) 또는 크래머 공식 은 유일한 해를 가지며 변수와 방정식의 수가 같은 연립 일차 방정식 의 해를 구하는 공식이다. 계수 행렬 과 그 한 열을 상수항으로 대신하여 얻는 행렬들의 행렬식 의 비를 통해 해를 나타낸다. 둘 또는 셋 이상의 방정식으로 이루어진 연립 일차 방정식의 경우, 크래머 법칙에 의한 알고리즘은 가우스 소거법 에 의한 알고리즘보다 훨씬 비효율적이다.
크라메르 법칙은 미분기하학 에서 매우 유용하다. 두 개의 방정식
F
(
x
,
y
,
u
,
v
)
=
0
{\displaystyle F(x,y,u,v)=0\,}
G
(
x
,
y
,
u
,
v
)
=
0
{\displaystyle G(x,y,u,v)=0\,}
x
=
X
(
u
,
v
)
{\displaystyle x=X(u,v)}
y
=
Y
(
u
,
v
)
{\displaystyle y=Y(u,v)}
여기서
∂
x
/
∂
u
{\displaystyle \partial x/\partial u}
먼저, F,G,x,y의 미분을 계산한다.
d
F
=
∂
F
∂
x
d
x
+
∂
F
∂
y
d
y
+
∂
F
∂
u
d
u
+
∂
F
∂
v
d
v
=
0
{\displaystyle dF={\frac {\partial F}{\partial x}}dx+{\frac {\partial F}{\partial y}}dy+{\frac {\partial F}{\partial u}}du+{\frac {\partial F}{\partial v}}dv=0}
d
G
=
∂
G
∂
x
d
x
+
∂
G
∂
y
d
y
+
∂
G
∂
u
d
u
+
∂
G
∂
v
d
v
=
0
{\displaystyle dG={\frac {\partial G}{\partial x}}dx+{\frac {\partial G}{\partial y}}dy+{\frac {\partial G}{\partial u}}du+{\frac {\partial G}{\partial v}}dv=0}
d
x
=
∂
X
∂
u
d
u
+
∂
X
∂
v
d
v
{\displaystyle dx={\frac {\partial X}{\partial u}}du+{\frac {\partial X}{\partial v}}dv}
d
y
=
∂
Y
∂
u
d
u
+
∂
Y
∂
v
d
v
{\displaystyle dy={\frac {\partial Y}{\partial u}}du+{\frac {\partial Y}{\partial v}}dv}
dF, dG에 dx와 dy를 대입하면
d
F
=
(
∂
F
∂
x
∂
x
∂
u
+
∂
F
∂
y
∂
y
∂
u
+
∂
F
∂
u
)
d
u
+
(
∂
F
∂
x
∂
x
∂
v
+
∂
F
∂
y
∂
y
∂
v
+
∂
F
∂
v
)
d
v
=
0
{\displaystyle dF=\left({\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial u}}\right)du+\left({\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}+{\frac {\partial F}{\partial v}}\right)dv=0}
d
G
=
(
∂
G
∂
x
∂
x
∂
u
+
∂
G
∂
y
∂
y
∂
u
+
∂
G
∂
u
)
d
u
+
(
∂
G
∂
x
∂
x
∂
v
+
∂
G
∂
y
∂
y
∂
v
+
∂
G
∂
v
)
d
v
=
0
{\displaystyle dG=\left({\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}+{\frac {\partial G}{\partial u}}\right)du+\left({\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}+{\frac {\partial G}{\partial v}}\right)dv=0}
u와 v는 독립적이므로, du와 dv의 계수는 0이다. 따라서 계수에 대한 방정식을 다음과 같이 쓸 수 있다.
∂
F
∂
x
∂
x
∂
u
+
∂
F
∂
y
∂
y
∂
u
=
−
∂
F
∂
u
{\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}=-{\frac {\partial F}{\partial u}}}
∂
G
∂
x
∂
x
∂
u
+
∂
G
∂
y
∂
y
∂
u
=
−
∂
G
∂
u
{\displaystyle {\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}=-{\frac {\partial G}{\partial u}}}
∂
F
∂
x
∂
x
∂
v
+
∂
F
∂
y
∂
y
∂
v
=
−
∂
F
∂
v
{\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}=-{\frac {\partial F}{\partial v}}}
∂
G
∂
x
∂
x
∂
v
+
∂
G
∂
y
∂
y
∂
v
=
−
∂
G
∂
v
{\displaystyle {\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}=-{\frac {\partial G}{\partial v}}}
따라서, 크라메르 법칙을 적용하면 다음과 같다.
∂
x
∂
u
=
|
−
∂
F
∂
u
∂
F
∂
y
−
∂
G
∂
u
∂
G
∂
y
|
|
∂
F
∂
x
∂
F
∂
y
∂
G
∂
x
∂
G
∂
y
|
{\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial u}}={\frac {\begin{vmatrix}-{\frac {\partial F}{\partial u}}&{\frac {\partial F}{\partial y}}\\-{\frac {\partial G}{\partial u}}&{\frac {\partial G}{\partial y}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{\frac {\partial F}{\partial x}}&{\frac {\partial F}{\partial y}}\\{\frac {\partial G}{\partial x}}&{\frac {\partial G}{\partial y}}\end{vmatrix}}}}
이것은 두 개의 야코비안 항이다.
∂
x
∂
u
=
−
(
∂
(
F
,
G
)
∂
(
y
,
u
)
)
(
∂
(
F
,
G
)
∂
(
x
,
y
)
)
{\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial u}}=-{\frac {\left({\frac {\partial \left(F,G\right)}{\partial \left(y,u\right)}}\right)}{\left({\frac {\partial \left(F,G\right)}{\partial \left(x,y\right)}}\right)}}}
유사하게
∂
x
∂
v
{\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial v}}}
∂
y
∂
u
{\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial u}}}
∂
y
∂
v
{\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial v}}}
