선형대수학 에서 크로네커 곱 (영어 : Kronecker product )은 두 행렬의 텐서곱을 구체적으로 표현하는 행렬이다. m ×n 행렬과 p ×q 행렬의 크로네커 곱은 크기 mp ×nq 의 더 큰 행렬이다.
환
R
{\displaystyle R}
m
×
n
{\displaystyle m\times n}
M
{\displaystyle M}
p
×
q
{\displaystyle p\times q}
N
{\displaystyle N}
M
=
(
M
11
⋯
M
1
n
⋮
⋮
M
m
1
⋯
M
m
n
)
∈
Mat
(
m
,
n
;
R
)
{\displaystyle M={\begin{pmatrix}M_{11}&\dotsm &M_{1n}\\\vdots &&\vdots \\M_{m1}&\dotsm &M_{mn}\end{pmatrix}}\in \operatorname {Mat} (m,n;R)}
N
=
(
N
11
⋯
N
1
q
⋮
⋮
N
p
1
⋯
N
p
q
)
∈
Mat
(
p
,
q
;
R
)
{\displaystyle N={\begin{pmatrix}N_{11}&\dotsm &N_{1q}\\\vdots &&\vdots \\N_{p1}&\dotsm &N_{pq}\end{pmatrix}}\in \operatorname {Mat} (p,q;R)}
그렇다면,
M
{\displaystyle M}
N
{\displaystyle N}
크로네커 곱
M
⊗
N
∈
Mat
(
m
p
,
n
q
;
R
)
{\displaystyle M\otimes N\in \operatorname {Mat} (mp,nq;R)}
은 다음과 같은 성분을 갖는
m
p
×
n
q
{\displaystyle mp\times nq}
M
⊗
N
=
(
M
11
N
⋯
M
1
n
N
⋮
⋮
M
m
1
N
⋯
M
m
n
N
)
{\displaystyle M\otimes N={\begin{pmatrix}M_{11}N&\dotsm &M_{1n}N\\\vdots &&\vdots \\M_{m1}N&\dotsm &M_{mn}N\end{pmatrix}}}
즉,
(
M
⊗
N
)
(
a
−
1
)
p
+
i
,
(
b
−
1
)
q
+
j
=
M
a
b
N
i
j
{\displaystyle (M\otimes N)_{(a-1)p+i,(b-1)q+j}=M_{ab}N_{ij}}
이다.
임의의 환
R
{\displaystyle R}
1
1
×
1
⊗
A
=
A
⊗
1
1
×
1
=
A
{\displaystyle 1_{1\times 1}\otimes A=A\otimes 1_{1\times 1}=A}
A
⊗
(
B
+
C
)
=
A
⊗
B
+
A
⊗
C
{\displaystyle A\otimes (B+C)=A\otimes B+A\otimes C}
(
A
+
B
)
⊗
C
=
A
⊗
C
+
B
⊗
C
{\displaystyle (A+B)\otimes C=A\otimes C+B\otimes C}
(
A
⊗
B
)
⊗
C
=
A
⊗
(
B
⊗
C
)
{\displaystyle (A\otimes B)\otimes C=A\otimes (B\otimes C)}
(
A
⊗
B
)
⊤
=
A
⊤
⊗
B
⊤
{\displaystyle (A\otimes B)^{\top }=A^{\top }\otimes B^{\top }}
만약
R
{\displaystyle R}
가환환 일 때, 행렬식 을 정의할 수 있으며, 다음이 성립한다.
det
(
A
⊗
B
)
=
(
det
A
)
n
(
det
B
)
m
(
A
∈
Mat
(
m
,
m
;
R
)
,
B
∈
Mat
(
n
,
n
;
R
)
{\displaystyle \det(A\otimes B)=(\det A)^{n}(\det B)^{m}\qquad (A\in \operatorname {Mat} (m,m;R),\;B\in \operatorname {Mat} (n,n;R)}
(
A
⊗
B
)
(
C
⊗
D
)
=
(
A
C
)
⊗
(
B
D
)
(
A
∈
Mat
(
m
,
n
;
R
)
,
B
∈
Mat
(
m
′
,
n
′
;
R
)
,
C
∈
Mat
(
n
,
p
;
R
)
,
D
∈
Mat
(
n
′
,
p
′
;
R
)
)
{\displaystyle (A\otimes B)(C\otimes D)=(AC)\otimes (BD)\qquad (A\in \operatorname {Mat} (m,n;R),\;B\in \operatorname {Mat} (m',n';R),\;C\in \operatorname {Mat} (n,p;R),\;D\in \operatorname {Mat} (n',p';R))}
레오폴트 크로네커 (1823~1891)의 이름을 땄다. 그러나 이름과 달리 요한 게오르크 체푸스(독일어 : Johann Georg Zehfuss , 1832~1901)가 1858년에 최초로 사용하였다.[ 1] [ 2]
