크룰 높이 정리

가환대수학에서 크룰 높이 정리(영어: Krull’s height theorem)는 뇌터 환에서 n개의 원소로 생성된 아이디얼의 높이가 n 이하라는 정리이다.

정의

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 가환 뇌터 환 $R$
• 자연수 $m,n\in \mathbb {N}$ 및 $0\leq k\leq \min\{m,n\}$
• 임의의 $R$ 성분의 $m\times n$ 행렬 $M\in \operatorname {Mat} (m,n;R)$

그렇다면, $M$은 $\textstyle {\binom {m}{k}}{\binom {n}{k}}$개의 $k\times k$ 소행렬식(영어: minor)들을 갖는다. 크룰 높이 정리에 따르면, 이 소행렬식들로 생성되는 $R$-아이디얼이 $R$ 전체가 아니라면, 그 높이는 $(m-k+1)(n-k+1)$ 이하이다.

특히, $n=k=1$인 경우, $m$개의 원소로 생성되는 아이디얼 $(r_{1},r_{2},\dots ,r_{m})\neq R$의 높이는 $n$ 이하이다.

$\operatorname {ht} (r_{1},\dots ,r_{n})\leq \{0,1,\dots ,n\}\qquad \left((r_{1},r_{2},\dots ,r_{m})\neq R\right)$

반대로, 높이가 $n$인 소 아이디얼은 $n$개의 원소로 생성될 수 있다.

특히, 크룰 높이 정리에서 $m=n=k=1$을 취하면, 가역원이 아닌 원소로 생성되는 주 아이디얼의 높이는 1 이하임을 알 수 있다.

$\operatorname {ht} (r)\in \{-\infty ,0,1\}\qquad (r\not \in R^{\times })$

크룰 정역의 경우

크룰 높이 정리는 크룰 정역에 대하여 부분적으로 성립한다. 구체적으로, 크룰 정역의 모든 진 아이디얼인 주 아이디얼의 높이는 0 또는 1이다. (그러나 뇌터 환이 아닌 크룰 정역의 경우, 이는 2개 이상의 원소로 생성되는 아이디얼에 대하여 성립하지 않을 수 있다.)

역사

볼프강 크룰이 1928년에 $m=n=k=1$인 경우를 증명하였다.

1961년에 존 얼론조 이건(영어: John Alonzo Eagon)이 이를 소행렬식에 대하여 일반화하였다.

참고 문헌

• Matsumura, Hideyuki (1970). 《Commutative Algebra》 (영어). New York: Addison Wesley Longman. ISBN 978-0805370256. 

외부 링크

• “Height of an ideal”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Krull's principal ideal theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Krull's principal ideal theorem”. 《Commalg》 (영어). 
• “Krull's height theorem”. 《Commalg》 (영어). 
• “Determinantal ideal theorem”. 《Commalg》 (영어). 
• “Rings satisfying PIT”. 《Commalg》 (영어).