양자장론 에서 파인만의 슬래시 기법 ( Feynman slash notation )[ 1] 은 디랙 장 의 연구에서 파인만 에 의해 도입된 사차원 벡터 [ 2] 와 감마 행렬 γ 의 축약를 나타내는 표기법이다:
A
/
≡
γ
μ
A
μ
=
γ
μ
A
μ
{\displaystyle {A\!\!\!/}\ \equiv \gamma ^{\mu }A_{\mu }=\gamma _{\mu }A^{\mu }}
.
여기서 Aμ 는 공변 벡터 , Aμ 는 반변 벡터이며 아인슈타인 표기법 을 사용하고 있다.
A
/
{\displaystyle {A\!\!\!/}}
는 「A슬래시」라고 읽는다.
감마 행렬 의 반교환 관계 {γμ , γν } = 2gμν 를 사용함으로써 임의 벡터 a , b 에 대해 다음 항등식이 성립한다.
a
/
a
/
≡
a
μ
a
μ
⋅
I
4
=
a
2
⋅
I
4
a
/
b
/
+
b
/
a
/
≡
2
a
⋅
b
⋅
I
4
{\displaystyle {\begin{aligned}{a\!\!\!/}{a\!\!\!/}&\equiv a^{\mu }a_{\mu }\cdot I_{4}=a^{2}\cdot I_{4}\\{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}+{b\!\!\!/}{a\!\!\!/}&\equiv 2a\cdot b\cdot I_{4}\,\end{aligned}}}
.
여기서 I 4 는 4차원 단위 행렬이다.
특히
∂
/
2
≡
∂
2
⋅
I
4
{\displaystyle {\partial \!\!\!/}^{2}\equiv \partial ^{2}\cdot I_{4}}
.
다음 항등식은 감마 행렬의 성질 로부터 계량 텐서와 내적을 지환함으로써 직접 얻어진다. 예를 들면
tr
(
a
/
b
/
)
≡
4
a
⋅
b
tr
(
a
/
b
/
c
/
d
/
)
≡
4
[
(
a
⋅
b
)
(
c
⋅
d
)
−
(
a
⋅
c
)
(
b
⋅
d
)
+
(
a
⋅
d
)
(
b
⋅
c
)
]
tr
(
γ
5
a
/
b
/
c
/
d
/
)
≡
4
i
ϵ
μ
ν
λ
σ
a
μ
b
ν
c
λ
d
σ
γ
μ
a
/
γ
μ
≡
−
2
a
/
γ
μ
a
/
b
/
γ
μ
≡
4
a
⋅
b
⋅
I
4
γ
μ
a
/
b
/
c
/
γ
μ
≡
−
2
c
/
b
/
a
/
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tr} ({a\!\!\!/}{b\!\!\!/})&\equiv 4a\cdot b\\\operatorname {tr} ({a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}{d\!\!\!/})&\equiv 4\left[(a\cdot b)(c\cdot d)-(a\cdot c)(b\cdot d)+(a\cdot d)(b\cdot c)\right]\\\operatorname {tr} (\gamma _{5}{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}{d\!\!\!/})&\equiv 4i\epsilon _{\mu \nu \lambda \sigma }a^{\mu }b^{\nu }c^{\lambda }d^{\sigma }\\\gamma _{\mu }{a\!\!\!/}\gamma ^{\mu }&\equiv -2{a\!\!\!/}\\\gamma _{\mu }{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}\gamma ^{\mu }&\equiv 4a\cdot b\cdot I_{4}\\\gamma _{\mu }{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}\gamma ^{\mu }&\equiv -2{c\!\!\!/}{b\!\!\!/}{a\!\!\!/}\\\end{aligned}}}
여기서 εμνλσ 는 레비 티비타 완전 반대칭 텐서 .
디랙 방정식 을 사용하여서 산란 단면적 을 풀 때 사차원 운동량 에 대해 슬래시 기법을 사용한다: 감마 행렬은 다음 디랙 표현을 사용하면
γ
0
=
(
I
0
0
−
I
)
,
γ
i
=
(
0
σ
i
−
σ
i
0
)
{\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I&0\\0&-I\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{i}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{i}\\-\sigma ^{i}&0\end{pmatrix}}}
,
여기서 σ 는 파울리 행렬 이다. 또한 사차원 운동량 의 정의:
p
μ
=
(
E
,
−
p
x
,
−
p
y
,
−
p
z
)
{\displaystyle p_{\mu }=\left(E,-p_{x},-p_{y},-p_{z}\right)}
에 따라서, 다음을 얻는다.
p
/
=
γ
μ
p
μ
=
γ
0
p
0
+
γ
i
p
i
=
[
p
0
0
0
−
p
0
]
+
[
0
σ
i
p
i
−
σ
i
p
i
0
]
=
[
E
−
σ
⋅
p
→
σ
⋅
p
→
−
E
]
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{p\!\!/}&=\gamma ^{\mu }p_{\mu }=\gamma ^{0}p_{0}+\gamma ^{i}p_{i}\\&={\begin{bmatrix}p_{0}&0\\0&-p_{0}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&\sigma ^{i}p_{i}\\-\sigma ^{i}p_{i}&0\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}E&-\sigma \cdot {\vec {p}}\\\sigma \cdot {\vec {p}}&-E\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}
가튼 결과는 바일 표현과 같은 다른 표현을 사용하면서도 얻을 수 있다.
Halzen, Francis; Martin, Alan (1984). 《Quarks & Leptons: An Introductory Course in Modern Particle Physics》. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-88741-2 . Halzen, Francis; Martin, Alan (1984). 《Quarks & Leptons: An Introductory Course in Modern Particle Physics》. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-88741-2 .