가야 신화의 구간에 대해서는
구간 (신화) 문서를 참고하십시오.
수학 에서 구간 (區間, 영어 : interval )은 원순서 집합 의 주어진 두 원소 사이의 모든 원소들의 집합 이다. 특히, 표준적인 전순서 를 갖춘 실수 의 집합 위의 구간을 생각할 수 있다. 구간은 끝점을 포함하는지 여부에 따라
열린구간 (-區間영어 : open interval ) 또는 개구간 (開區間)닫힌구간 (-區間영어 : closed interval ) 또는 폐구간 (閉區間)반열린구간 (半-區間, 영어 : half-open interval ) 또는 반닫힌구간 (半-區間, 영어 : half-closed interval ) 또는 반개구간 (半開區間) 또는 반폐구간 (半閉區間)실수 구간
(
x
,
x
+
a
)
{\displaystyle (x,x+a)}
[
x
,
x
+
a
]
{\displaystyle [x,x+a]}
[
x
,
x
+
a
)
{\displaystyle [x,x+a)}
(
x
,
x
+
a
]
{\displaystyle (x,x+a]}
의 세 가지로 나뉜다.
원순서 집합
(
X
,
≲
)
{\displaystyle (X,\lesssim )}
a
,
b
∈
X
{\displaystyle a,b\in X}
a
≲
b
≴
a
{\displaystyle a\lesssim b\not \lesssim a}
를
a
<
b
{\displaystyle a<b}
원순서 집합
(
X
,
≲
)
{\displaystyle (X,\lesssim )}
[ 1] :11, Definition 11
a
,
b
∈
X
{\displaystyle a,b\in X}
열린구간 과 닫힌구간 및 두 개의 반열린구간 은 각각 다음과 같다 (두 끝점에 대하여
a
<
b
{\displaystyle a<b}
a
≲
b
{\displaystyle a\lesssim b}
(
a
,
b
)
=
{
x
∈
X
:
a
<
x
<
b
}
{\displaystyle (a,b)=\{x\in X\colon a<x<b\}}
[
a
,
b
]
=
{
x
∈
X
:
a
≲
x
≲
b
}
{\displaystyle [a,b]=\{x\in X\colon a\lesssim x\lesssim b\}}
(
a
,
b
]
=
{
x
∈
X
:
a
<
x
≲
b
}
{\displaystyle (a,b]=\{x\in X\colon a<x\lesssim b\}}
[
a
,
b
)
=
{
x
∈
X
:
a
≲
x
<
b
}
{\displaystyle [a,b)=\{x\in X\colon a\lesssim x<b\}}
원순서 집합
(
X
,
≲
)
{\displaystyle (X,\lesssim )}
a
∈
X
{\displaystyle a\in X}
열린구간 과 반열린구간 은 각각 다음과 같다.
(
a
,
∞
)
=
{
x
∈
X
:
a
<
x
}
{\displaystyle (a,\infty )=\{x\in X\colon a<x\}}
[
a
,
∞
)
=
{
x
∈
X
:
a
≲
x
}
{\displaystyle [a,\infty )=\{x\in X\colon a\lesssim x\}}
마찬가지로, 원순서 집합
(
X
,
≲
)
{\displaystyle (X,\lesssim )}
b
∈
X
{\displaystyle b\in X}
열린구간 과 반열린구간 은 각각 다음과 같다.
(
−
∞
,
b
)
=
{
x
∈
X
:
x
<
b
}
{\displaystyle (-\infty ,b)=\{x\in X\colon x<b\}}
(
−
∞
,
b
]
=
{
x
∈
X
:
x
≲
b
}
{\displaystyle (-\infty ,b]=\{x\in X\colon x\lesssim b\}}
왼쪽·오른쪽 끝점이 주어지지 않는 (열린)구간은
X
{\displaystyle X}
(
−
∞
,
∞
)
=
X
{\displaystyle (-\infty ,\infty )=X}
원순서 집합
(
X
,
≲
)
{\displaystyle (X,\lesssim )}
최대 원소 와 최소 원소 를 추가하여 얻는 원순서 집합
X
⊔
{
−
∞
,
∞
}
{\displaystyle X\sqcup \{-\infty ,\infty \}}
∀
x
∈
X
:
−
∞
<
x
<
∞
{\displaystyle \forall x\in X\colon -\infty <x<\infty }
의 두 원소를 두 끝점으로 하는
X
⊔
{
−
∞
,
∞
}
{\displaystyle X\sqcup \{-\infty ,\infty \}}
확장된 실수 를 끝점으로 한다.
원순서 집합
(
X
,
≲
)
{\displaystyle (X,\lesssim )}
부분 집합
C
⊆
X
{\displaystyle C\subseteq X}
순서 볼록 집합 (영어 : order-convex set )이라고 한다.
임의의
a
,
b
∈
C
{\displaystyle a,b\in C}
[
a
,
b
]
⊆
C
{\displaystyle [a,b]\subseteq C}
원순서 집합
(
X
,
≲
)
{\displaystyle (X,\lesssim )}
부분 집합
Y
⊆
X
{\displaystyle Y\subseteq X}
Y
{\displaystyle Y}
X
{\displaystyle X}
부분 순서 집합 을 이룬다. 그 극대 원소 를
Y
{\displaystyle Y}
순서 볼록 성분 (영어 : order-convex component )이라고 한다.[ 2] :Definition 5.1 [ 3] :727 초른 보조정리 에 따라,
Y
{\displaystyle Y}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
X
{\displaystyle X}
전순서 집합 이라면,
Y
{\displaystyle Y}
Y
{\displaystyle Y}
분할 한다. 즉,
C
⊆
Y
{\displaystyle C\subseteq Y}
C
⊆
X
{\displaystyle C\subseteq X}
{
y
∈
Y
:
∃
c
∈
C
:
[
min
{
c
,
y
}
,
max
{
c
,
y
}
]
⊆
Y
}
{\displaystyle \{y\in Y\colon \exists c\in C\colon [\min\{c,y\},\max\{c,y\}]\subseteq Y\}}
모든 구간은 순서 볼록 집합이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.
실수선
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
부분 집합
I
⊆
R
{\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }
동치 이다.
I
{\displaystyle I}
I
{\displaystyle I}
볼록 집합 이다.
I
{\displaystyle I}
I
=
∅
{\displaystyle I=\varnothing }
I
{\displaystyle I}
연결 공간 이다.
I
=
∅
{\displaystyle I=\varnothing }
I
{\displaystyle I}
경로 연결 공간 이다.
I
=
∅
{\displaystyle I=\varnothing }
I
{\displaystyle I}
호 연결 공간 이다.보다 일반적으로, 선형 연속체
(
L
,
≤
)
{\displaystyle (L,\leq )}
부분 집합
S
⊆
L
{\displaystyle S\subseteq L}
동치 이다.[ 4] :153, Theorem 24.1
S
{\displaystyle S}
S
{\displaystyle S}
S
=
∅
{\displaystyle S=\varnothing }
L
{\displaystyle L}
순서 위상 을 가했을 때
S
{\displaystyle S}
연결 공간 이다.실수 구간의 폐포 는 다음과 같다.[ 5] :214, Lemma 9.1.12
cl
(
a
,
b
)
=
cl
(
a
,
b
]
=
cl
[
a
,
b
)
=
cl
[
a
,
b
]
=
[
a
,
b
]
{\displaystyle \operatorname {cl} (a,b)=\operatorname {cl} (a,b]=\operatorname {cl} [a,b)=\operatorname {cl} [a,b]=[a,b]}
cl
(
a
,
+
∞
)
=
cl
[
a
,
+
∞
)
=
[
a
,
+
∞
)
{\displaystyle \operatorname {cl} (a,+\infty )=\operatorname {cl} [a,+\infty )=[a,+\infty )}
cl
(
−
∞
,
a
)
=
cl
(
−
∞
,
a
]
=
(
−
∞
,
a
]
{\displaystyle \operatorname {cl} (-\infty ,a)=\operatorname {cl} (-\infty ,a]=(-\infty ,a]}
cl
(
−
∞
,
+
∞
)
=
(
−
∞
,
∞
)
{\displaystyle \operatorname {cl} (-\infty ,+\infty )=(-\infty ,\infty )}
격자
L
{\displaystyle L}
부분 집합
S
⊆
L
{\displaystyle S\subseteq L}
동치 이다.
S
{\displaystyle S}
S
=
I
∩
F
{\displaystyle S=I\cap F}
순서 아이디얼
I
⊆
L
{\displaystyle I\subseteq L}
필터
F
⊆
L
{\displaystyle F\subseteq L}
단위 구간
[
0
,
1
]
=
{
x
∈
R
:
0
≤
x
≤
1
}
{\displaystyle [0,1]=\{x\in \mathbb {R} \colon 0\leq x\leq 1\}}
은 0보다 크거나 그와 같고, 1보다 작거나 그와 같은 실수들의 집합이다. 구간
(
0
,
∞
)
=
{
x
∈
R
:
x
>
0
}
{\displaystyle (0,\infty )=\{x\in \mathbb {R} \colon x>0\}}
은 모든 양의 실수들의 집합이다.
유리수 의 전순서 집합
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
부분 집합
{
x
∈
Q
:
x
2
<
2
}
⊆
Q
{\displaystyle \{x\in \mathbb {Q} \colon x^{2}<2\}\subseteq \mathbb {Q} }
는 순서 볼록 집합이지만, (
2
{\displaystyle {\sqrt {2}}}
무리수 이므로)
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
가야 신화의 구간에 대해서는 구간 (신화) 문서를 참고하십시오.
![{\displaystyle [x,x+a]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12bf433832424925bb13750f2b74b1b8a3eea263)
![{\displaystyle (x,x+a]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c8c6b3deb4c975531c065ba800b836b89fc078c)
![{\displaystyle [a,b]=\{x\in X\colon a\lesssim x\lesssim b\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf1b91d4e0efd987fb45e4de370662d066493f63)
![{\displaystyle (a,b]=\{x\in X\colon a<x\lesssim b\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c65294a9d7cd6a779496abf27cf02d0d1c1b5668)
![{\displaystyle (-\infty ,b]=\{x\in X\colon x\lesssim b\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aac1feb3c6cb6fba7d13cdd4faadf6cc95f62b64)
![{\displaystyle [a,b]\subseteq C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1566481f9427153037d6db353b66701b4b38036)
![{\displaystyle \{y\in Y\colon \exists c\in C\colon [\min\{c,y\},\max\{c,y\}]\subseteq Y\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d6e700d32bff8cd074e26eb42bf59576778a4bb)
![{\displaystyle \operatorname {cl} (a,b)=\operatorname {cl} (a,b]=\operatorname {cl} [a,b)=\operatorname {cl} [a,b]=[a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/441e8c9b2d48796b3f5829509efd941247eec1e6)
![{\displaystyle \operatorname {cl} (-\infty ,a)=\operatorname {cl} (-\infty ,a]=(-\infty ,a]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41e44a0859d4db857a3dce69f1658728a3298e6a)
이 부분의 본문은 볼록 부분 격자입니다.
![{\displaystyle [0,1]=\{x\in \mathbb {R} \colon 0\leq x\leq 1\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/349f449b309fd735f12e59ba075107a89d77f099)
