포크트 윤곽

포크트 윤곽(Voigt profile)은 분광학에서 스펙트럼선의 선폭이 보이는 분포함수이다. 독일 물리학자 볼데마르 포크트의 이름이 붙었다.

포크트 윤곽의 예.

전자기파는 고유의 스펙트럼에 코시 분포(로렌츠 분포)를 가지고 있고, 그것을 분광기로 관측할 때 가우스 분포(정규분포)가 더해진다. 포크트 윤곽은 코시 분포와 가우스 분포를 합성곱한 것이다.

$V(x;\sigma ,\gamma )=\int _{-\infty }^{\infty }G(x';\sigma )L(x-x';\gamma )\,dx'$

이때 $x$는 스펙트럼선의 중앙에서부터의 빈도이고, $G(x;\sigma )$는 중앙의 가우스 윤곽이다.

$G(x;\sigma )\equiv {\frac {e^{-x^{2}/(2\sigma ^{2})}}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}$

그리고 중앙의 로렌츠 윤곽 $L(x;\gamma )$은 다음과 같다.

$L(x;\gamma )\equiv {\frac {\gamma }{\pi (x^{2}+\gamma ^{2})}}.$

적분 결과는 다음과 같이 나타나며

$V(x;\sigma ,\gamma )={\frac {{\textrm {Re}}[w(z)]}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}$

이때 ${\textrm {Re}}[w(z)]$은

$z={\frac {x+i\gamma }{\sigma {\sqrt {2}}}}.$

로 나타낸 Faddeeva 함수의 실수부이다.

포크트 함수

포크트 함수(Voigt functions) 또는 분광선 확장 함수(line broadening function) $U$, $V$, $H$는 다음과 같이 정의된다.

$U(x,t)+iV(x,t)={\sqrt {\frac {\pi }{4t}}}e^{z^{2}}{\text{erfc}}(z)={\sqrt {\frac {\pi }{4t}}}w(iz)$

$H(a,u)={\frac {U(u/a,1/4a^{2})}{a{\sqrt {\pi }}}}$

이때

$z={{(1-ix)} \over {2{\sqrt {t}}}}$이며, ${\text{erfc}}$는 오차함수이고 $w(z)$는 Faddeeva 함수이다.