프톨레마이오스 정리
기하학에서 프톨레마이오스 정리(Ptolemaeus定理, 영어: Ptolemy's theorem) 또는 톨레미 정리(Ptolemy定理)는 원에 내접하는 사각형의 두 대각선의 길이의 곱이 두 쌍의 대변의 길이의 곱의 합과 같다는 정리이다.
정의
편집프톨레마이오스 정리에 따르면, 내접 사각형 에 대하여, 다음이 성립한다.
이는 케이시의 정리의 특수한 경우이다.
증명
편집삼각형의 닮음을 통한 증명
편집사각형 의 외접원의 호 와 의 원주각의 성질에 의하여 이고 이다. 선분 위에서 를 만족시키는 점 를 잡자. 그러면 이다. 따라서, 삼각형 와 는 닮음이고, 삼각형 와 역시 닮음이므로,
와
가 성립한다. 이므로
이다.
반전을 통한 역증명
편집중심이 인 단위원에 대한 반전에 대한 의 상을 이라고 하자. 그러면 은 서로 다른 공선점이며, 은 와 사이의 점이다. 반전의 성질에 의하여
이며, 이므로,
가 성립한다.
따름정리
편집삼각 함수 항등식
편집프톨레마이오스 정리에서 한 대각선이 내접원의 지름인 경우는 두 각의 합의 사인 함수에 대한 항등식과 동치이다.[1]:309, Historical note 10.9.2.1 즉, 내접 사각형 의 대각선 가 내접원의 중심 를 지난다고 하자. 편의상 내접원의 반지름이 1이라고 하자. 또한 이고 라고 하자. 그러면
이므로, 프톨레마이오스 정리에 의하여
가 성립한다.
프톨레마이오스 정리의 역
편집프톨레마이오스 정리의 역 또한 성립한다. 즉, 사각형 가
를 만족시킨다면, 내접 사각형이다.
프톨레마이오스 부등식
편집프톨레마이오스 부등식(Ptolemaeus不等式, 영어: Ptolemy's inequality)에 따르면, 임의의 사각형 에 대하여, 다음이 성립한다.
또한, 등호가 성립할 필요충분조건은 내접 사각형이다.
보다 일반적으로, 평면 위 임의의 네 점 에 대하여, 위와 같은 부등식이 성립하며, 또한 이들에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]:309, Proposition 10.9.2
역사
편집고대 그리스의 천문학자이자 수학자인 클라우디오스 프톨레마이오스는 이 정리를 저서 《알마게스트》에 등장하는 현표를 만드는 데 사용하였다.[1]:309, Historical note 10.9.2.1
같이 보기
편집각주
편집- ↑ 가 나 다 Berger, Marcel (1987). 《Geometry I》. Universitext (영어). 번역 Cole, Michael; Levy, Silvio. Berlin, Heidelberg: Springer. doi:10.1007/978-3-540-93815-6. ISBN 978-3-540-11658-5. ISSN 0172-5939.
외부 링크
편집- 이철희. “톨레미의 정리”. 《수학노트》.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Ptolemy's theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Ptolemy inequality”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- “Ptolemy's theorem”. 《PlanetMath》 (영어).