피어츠 항등식

피어츠 항등식(Fierz identity)이란 두 스피너 쌍선형 형식의 곱을 다른 스피너 쌍선형 형식 곱의 선형 결합으로 나타내는 항등식이다. 스위스의 물리학자 마르쿠스 에두아르트 피어츠(Markus Eduard Fierz)가 도입하였다. 양자장론에서 스피너로 나타내어지는 페르미온을 다룰 때 쓴다.

디랙 스피너

디랙 스피너의 피어츠 항등식은 다음 표에 의하여 주어진다. 여기서 S, V, T, A, P는 각각 스칼라, 벡터, 텐서, 축벡터, 유사스칼라를 나타낸다.

	S	V	T	A	P
S × S =	¼	¼	−¼	−¼	¼
V × V =	1	−½	0	−½	−1
T × T =	−1½	0	−½	0	−1½
A × A =	-1	−½	0	−½	1
P × P =	¼	−¼	−¼	¼	¼

예를 들어 벡터×벡터 곱의 피어츠 항등식은 다음과 같다.

$\left({\bar {\chi }}\gamma ^{\mu }\psi \right)\left({\bar {\psi }}\gamma _{\mu }\chi \right)=\left({\bar {\chi }}\chi \right)\left({\bar {\psi }}\psi \right)-{\frac {1}{2}}\left({\bar {\chi }}\gamma ^{\mu }\chi \right)\left({\bar {\psi }}\gamma _{\mu }\psi \right)-{\frac {1}{2}}\left({\bar {\chi }}\gamma ^{\mu }\gamma _{5}\chi \right)\left({\bar {\psi }}\gamma _{\mu }\gamma _{5}\psi \right)-\left({\bar {\chi }}\gamma ^{5}\chi \right)\left({\bar {\psi }}\gamma _{5}\psi \right).$

바일 스피너

반가환 바일 스피너는 다음의 피어츠 항등식을 만족한다.

$\xi ({\bar {\eta }}\zeta )+\eta ({\bar {\zeta }}\xi )+\zeta ({\bar {\xi }}\eta )=0.$

$(\psi \sigma ^{\mu \nu }\chi )(\psi '\sigma _{\mu \nu }\chi ')=-2(\psi \chi ')(\chi \psi ')-(\psi \chi )(\psi '\chi ')$

$({\bar {\psi }}{\bar {\sigma }}^{\mu \nu }{\bar {\chi }})({\bar {\psi }}'{\bar {\sigma }}_{\mu \nu }{\bar {\chi }}')=-2({\bar {\psi }}{\bar {\chi }}')({\bar {\chi }}{\bar {\psi }}')-({\bar {\psi }}{\bar {\chi }})({\bar {\psi }}'{\bar {\chi }}')$

$(\psi \sigma ^{\mu \nu }\chi )({\bar {\psi }}'{\bar {\sigma }}_{\mu \nu }{\bar {\chi }}')=0$.

참고 문헌

• Dreiner, H.K.; et al. (2008). “Two-component spinor techniques and Feynman rules for quantum field theory and supersymmetry” (영어). arXiv:0812.1594. 
• LB Okun Leptons and Quarks §29.3.4. ISBN 978-0-444-86924-1