무어 공간 (대수적 위상수학)

대수적 위상수학에서 무어 공간(Moore space)과 피터슨 공간(Peterson space)은 특정 차수를 제외한 호몰로지 군(코호몰로지 군)이 모두 자명군인 위상 공간이다. 호몰로지 · 코호몰로지 군에 대한 에일렌베르크-매클레인 공간과 비슷한 개념이다.

정의

아벨 군 $G$ 와 양의 정수 $n\geq 1$ 에 대하여 무어 공간 $M(G,n)$ 은 다음과 같은 축소 호몰로지 군을 갖는 위상 공간이다.

{\tilde {H}}_{i}(M(G,n))={\begin{cases}G&k=n\\0&k\neq n\end{cases}}

아벨 군 $G$ 와 양의 정수 $n\geq 1$ 에 대하여 피터슨 공간 $P(G,n)$ 은 다음과 같은 축소 코호몰로지 군을 갖는 위상 공간이다.

{\tilde {H}}^{i}(P(G,n))={\begin{cases}G&k=n\\0&k\neq n\end{cases}}

문헌에 따라 양쪽 모두 단순 연결 공간이라는 조건이 더 붙기도 한다.

성질

존재성

$G$ 가 유한 생성 아벨 군일 경우 무어 공간 $M(G,n)$ 은 항상 만들 수 있다.^[1]^{:Example 2.40}

피터슨 공간은 모든 $(G,n)$ 에 대해서 항상 존재하지는 않는다. 하지만 만약 $G$ 가 유한 생성 아벨 군이며 $n\geq 2$ 라면 피터슨 공간 $P(G,n)$ 은 항상 존재하며, 추가로 $n\geq 3$ 이라면 그 호모토피 유형은 $(G,n)$ 에 의하여 유일하게 결정된다.^[2]^:§6