상극한과 하극한은 기본적으로 부분 순서 를 갖춘 위상 공간 속의 점렬 및 그 일반화에 대하여 정의되는 개념이다. 위상수학 에서, 점렬 의 개념은 그물 과 필터 (또는 필터 기저 )로 일반화된다. 필터 는 집합족 의 일종이며, 상극한·하극한의 개념은 임의의 집합족 에 대하여 일반화된다.
또한, 임의의 함수
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
x
0
∈
X
{\displaystyle x_{0}\in X}
f
{\displaystyle f}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
근방 에서 취하는 값들의 집합족 을 정의할 수 있으며, 이를 통해 함수
f
{\displaystyle f}
x
0
∈
X
{\displaystyle x_{0}\in X}
Y
{\displaystyle Y}
완비 격자 라고 하자.
Y
{\displaystyle Y}
집합족
B
⊆
P
(
Y
)
{\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {P}}(Y)}
Y
{\displaystyle Y}
부분 집합
{
sup
B
:
B
∈
B
}
{\displaystyle \{\sup B\colon B\in {\mathcal {B}}\}}
{
inf
B
:
B
∈
B
}
{\displaystyle \{\inf B\colon B\in {\mathcal {B}}\}}
을 정의할 수 있다. 만약
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
하향 집합족 라면 이들 역시 하향 집합 이며, 만약
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
상집합 이라면 이들 역시 상집합 이다. 즉, 만약
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
필터 라면 이들 역시 필터 이다.
증명:
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
하향 집합족 이라고 하면, 임의의
B
1
,
B
2
∈
B
{\displaystyle B_{1},B_{2}\in {\mathcal {B}}}
B
3
⊆
B
1
∩
B
2
{\displaystyle B_{3}\subseteq B_{1}\cap B_{2}}
B
3
∈
B
{\displaystyle B_{3}\in {\mathcal {B}}}
sup
B
3
≤
sup
(
B
1
∩
B
2
)
≤
(
sup
B
1
)
∧
(
sup
B
2
)
{\displaystyle \sup B_{3}\leq \sup(B_{1}\cap B_{2})\leq (\sup B_{1})\land (\sup B_{2})}
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
가
상집합 이며, 임의의
B
∈
B
{\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}
및
y
∈
Y
{\displaystyle y\in Y}
에 대하여,
sup
B
≤
y
{\displaystyle \sup B\leq y}
라고 하자. 그렇다면
B
∪
{
y
}
∈
B
{\displaystyle B\cup \{y\}\in {\mathcal {B}}}
이며
sup
(
B
∪
{
y
}
)
=
y
{\displaystyle \sup(B\cup \{y\})=y}
이다.
이제,
Y
{\displaystyle Y}
하우스도르프 위상 이 부여되었다고 하고,
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
하향 집합족 이라고 하자. 그렇다면,
sup
:
B
→
Y
{\displaystyle \sup \colon {\mathcal {B}}\to Y}
sup
:
(
B
∈
B
)
→
sup
B
{\displaystyle \sup \colon (B\in {\mathcal {B}})\to \sup B}
는 그물 을 이룬다. 만약 이 그물이 수렴한다면,
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
상극한 은 이 그물의 극한이다.
lim sup
B
=
lim
B
→
⊥
sup
B
{\displaystyle \limsup {\mathcal {B}}=\lim _{B\to \bot }\sup B}
마찬가지로,
B
⊆
P
(
Y
)
{\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {P}}(Y)}
상향 집합족 이라고 하자. 그렇다면,
inf
:
B
→
Y
{\displaystyle \inf \colon {\mathcal {B}}\to Y}
inf
:
(
B
∈
B
)
↦
inf
B
{\displaystyle \inf \colon (B\in {\mathcal {B}})\mapsto \inf B}
는 그물 을 이룬다. 만약 이 그물이 수렴한다면,
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
하극한 은 이 그물의 극한이다.
lim inf
B
=
lim
B
→
⊤
inf
B
{\displaystyle \liminf {\mathcal {B}}=\lim _{B\to \top }\inf B}
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
부분 순서 가 주어진 위상 공간
Y
{\displaystyle Y}
상향 원순서 집합
(
I
,
≲
)
{\displaystyle (I,\lesssim )}
Y
{\displaystyle Y}
그물
y
:
I
→
Y
{\displaystyle y\colon I\to Y}
그렇다면, 그물
y
{\displaystyle y}
필터 기저
tail
(
y
)
=
{
{
y
i
:
i
≤
i
0
}
:
i
0
∈
I
}
{\displaystyle \operatorname {tail} (y)=\left\{\{y_{i}\colon i\leq i_{0}\}\colon i_{0}\in I\right\}}
를 생각하자. 그물
y
{\displaystyle y}
상극한 및 하극한 은 필터 기저
tail
(
y
)
{\displaystyle \operatorname {tail} (y)}
필터 )의 상극한·하극한이다.
lim sup
i
→
∞
y
i
=
lim sup
tail
(
y
)
{\displaystyle \limsup _{i\to \infty }y_{i}=\limsup \operatorname {tail} (y)}
lim inf
i
→
∞
y
i
=
lim inf
tail
(
y
)
{\displaystyle \liminf _{i\to \infty }y_{i}=\liminf \operatorname {tail} (y)}
특히,
Y
{\displaystyle Y}
점렬
y
:
N
→
Y
{\displaystyle y\colon \mathbb {N} \to Y}
그물 의 특수한 경우이므로, 그 상극한·하극한이 정의된다.
특히,
Y
{\displaystyle Y}
순서 위상 이 부여된 전순서 집합 이며, 모든 상한 과 하한 이 존재한다고 하자 (예를 들어, 확장된 실수
Y
=
R
¯
=
[
−
∞
,
∞
]
{\displaystyle Y={\bar {\mathbb {R} }}=[-\infty ,\infty ]}
lim sup
i
→
∞
y
i
=
lim
i
0
→
∞
sup
i
≥
i
0
y
i
=
inf
i
0
∈
I
sup
i
≥
i
0
y
i
{\displaystyle \limsup _{i\to \infty }y_{i}=\lim _{i_{0}\to \infty }\sup _{i\geq i_{0}}y_{i}=\inf _{i_{0}\in I}\sup _{i\geq i_{0}}y_{i}}
lim inf
i
→
∞
y
i
=
lim
i
0
→
∞
inf
i
≥
i
0
y
i
=
sup
i
0
∈
I
inf
i
≥
i
0
y
i
{\displaystyle \liminf _{i\to \infty }y_{i}=\lim _{i_{0}\to \infty }\inf _{i\geq i_{0}}y_{i}=\sup _{i_{0}\in I}\inf _{i\geq i_{0}}y_{i}}
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
부분 순서 가 주어진 위상 공간
Y
{\displaystyle Y}
위상 공간
X
{\displaystyle X}
함수
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
점
x
0
∈
X
{\displaystyle x_{0}\in X}
그렇다면, 다음과 같은 집합족 을 생각할 수 있다.
B
f
,
x
0
,
U
=
f
(
U
∖
{
x
0
}
)
=
{
f
(
x
)
:
x
∈
U
∖
{
x
0
}
}
{\displaystyle B_{f,x_{0},U}=f(U\setminus \{x_{0}\})=\left\{f(x)\colon x\in U\setminus \{x_{0}\}\right\}}
B
f
,
x
0
=
{
B
f
,
U
,
x
0
:
U
∈
N
X
,
x
0
}
{\displaystyle {\mathcal {B}}_{f,x_{0}}=\left\{B_{f,U,x_{0}}\colon U\in {\mathcal {N}}_{X,x_{0}}\right\}}
여기서
N
X
,
x
0
{\displaystyle {\mathcal {N}}_{X,x_{0}}}
x
0
∈
X
{\displaystyle x_{0}\in X}
근방 필터 이다. 즉,
x
0
{\displaystyle x_{0}}
근방 에서
f
{\displaystyle f}
집합족 이다.
B
f
,
x
0
{\displaystyle {\mathcal {B}}_{f,x_{0}}}
Y
{\displaystyle Y}
필터 를 이룬다.
f
{\displaystyle f}
x
0
∈
X
{\displaystyle x_{0}\in X}
상극한
lim sup
x
→
x
0
f
(
x
)
{\displaystyle \textstyle \limsup _{x\to x_{0}}f(x)}
하극한
lim inf
x
→
x
0
f
(
x
)
{\displaystyle \textstyle \liminf _{x\to x_{0}}f(x)}
필터
B
f
,
x
0
{\displaystyle {\mathcal {B}}_{f,x_{0}}}
lim sup
x
→
x
0
f
(
x
)
=
lim sup
B
f
,
x
0
{\displaystyle \limsup _{x\to x_{0}}f(x)=\limsup {\mathcal {B}}_{f,x_{0}}}
lim inf
x
→
x
0
f
(
x
)
=
lim inf
B
f
,
x
0
{\displaystyle \liminf _{x\to x_{0}}f(x)=\liminf {\mathcal {B}}_{f,x_{0}}}
특히, 만약
Y
{\displaystyle Y}
순서 위상 이 부여된 완비 전순서 집합 이라고 하자 (예를 들어, 확장된 실수
Y
=
R
¯
=
[
−
∞
,
∞
]
{\displaystyle Y={\bar {\mathbb {R} }}=[-\infty ,\infty ]}
lim sup
x
→
x
0
f
(
x
)
=
inf
U
∈
N
X
,
x
0
sup
f
(
U
∖
{
x
0
}
)
{\displaystyle \limsup _{x\to x_{0}}f(x)=\inf _{U\in {\mathcal {N}}_{X,x_{0}}}\sup f\left(U\setminus \{x_{0}\}\right)}
lim sup
x
→
x
0
f
(
x
)
=
sup
U
∈
N
X
,
x
0
inf
f
(
U
∖
{
x
0
}
)
{\displaystyle \limsup _{x\to x_{0}}f(x)=\sup _{U\in {\mathcal {N}}_{X,x_{0}}}\inf f\left(U\setminus \{x_{0}\}\right)}
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
순서 위상 이 부여된 완비 전순서 집합
(
X
,
≤
)
{\displaystyle (X,\leq )}
하향 원순서 집합
(
I
,
≲
)
{\displaystyle (I,\lesssim )}
순서를 보존하는 그물
x
:
I
→
X
{\displaystyle x\colon I\to X}
i
,
i
′
∈
I
{\displaystyle i,i'\in I}
i
≲
i
′
{\displaystyle i\lesssim i'}
x
i
≤
x
i
′
{\displaystyle x_{i}\leq x_{i'}}
그렇다면,
x
{\displaystyle x}
{
x
i
}
i
∈
I
{\displaystyle \{x_{i}\}_{i\in I}}
하한 으로 수렴한다.
lim
i
→
⊥
x
i
=
inf
i
∈
I
x
i
{\displaystyle \lim _{i\to \bot }x_{i}=\inf _{i\in I}x_{i}}
따라서, 만약
(
X
,
≤
)
{\displaystyle (X,\leq )}
순서 위상 이 부여된 완비 전순서 집합
(
X
,
≤
)
{\displaystyle (X,\leq )}
X
{\displaystyle X}
필터 기저
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
lim sup
B
=
inf
B
∈
B
sup
B
{\displaystyle \limsup {\mathcal {B}}=\inf _{B\in {\mathcal {B}}}\sup B}
lim inf
B
=
sup
B
∈
B
inf
B
{\displaystyle \liminf {\mathcal {B}}=\sup _{B\in {\mathcal {B}}}\inf B}
특히, 확장된 실수
R
¯
=
[
−
∞
,
∞
]
{\displaystyle {\bar {\mathbb {R} }}=[-\infty ,\infty ]}
완비 전순서 집합 이므로, 이 속의 그물 및 수열 은 항상 상극한과 하극한을 가진다.
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
순서 위상 이 부여된 완비 전순서 집합
(
X
,
≤
)
{\displaystyle (X,\leq )}
하향 원순서 집합
(
I
,
≲
)
{\displaystyle (I,\lesssim )}
그물
x
:
I
→
X
{\displaystyle x\colon I\to X}
점
x
0
∈
X
{\displaystyle x_{0}\in X}
그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치 이다.
lim
i
∈
I
=
x
0
{\displaystyle \textstyle \lim _{i\in I}=x_{0}}
(
x
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}
x
0
∈
X
{\displaystyle x_{0}\in X}
x
0
=
lim sup
i
∈
I
=
lim inf
i
∈
I
{\displaystyle x_{0}=\limsup _{i\in I}=\liminf _{i\in I}}
임의의 순서체
(
K
,
≤
)
{\displaystyle (K,\leq )}
집합족
B
⊆
P
(
K
)
{\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {P}}(K)}
−
lim inf
B
=
lim sup
(
−
B
)
{\displaystyle -\liminf {\mathcal {B}}=\limsup(-{\mathcal {B}})}
−
B
=
{
−
B
:
B
∈
B
}
=
{
{
−
b
:
b
∈
B
}
:
B
∈
B
}
{\displaystyle -{\mathcal {B}}=\{-B\colon B\in {\mathcal {B}}\}=\left\{\{-b\colon b\in B\}\colon B\in {\mathcal {B}}\right\}}
마찬가지로, 임의의 순서체
(
K
,
≤
)
{\displaystyle (K,\leq )}
그물
x
:
I
→
K
{\displaystyle x\colon I\to K}
−
lim inf
i
→
∞
x
i
=
−
lim sup
n
→
∞
(
−
x
i
)
{\displaystyle -\liminf _{i\to \infty }x_{i}=-\limsup _{n\to \infty }(-x_{i})}
inf
i
∈
I
x
i
≤
lim inf
i
→
∞
x
i
≤
lim sup
i
→
∞
(
x
i
)
≤
sup
i
∈
I
x
i
{\displaystyle \inf _{i\in I}x_{i}\leq \liminf _{i\to \infty }x_{i}\leq \limsup _{i\to \infty }(x_{i})\leq \sup _{i\in I}x_{i}}
마찬가지로, 임의의 위상 공간
X
{\displaystyle X}
f
:
X
→
K
{\displaystyle f\colon X\to K}
x
0
∈
X
{\displaystyle x_{0}\in X}
−
lim inf
x
→
x
0
f
(
x
)
=
lim sup
x
→
x
0
(
−
f
(
x
)
)
{\displaystyle -\liminf _{x\to x_{0}}f(x)=\limsup _{x\to x_{0}}(-f(x))}
inf
x
∈
X
f
(
x
)
≤
lim inf
f
(
x
)
≤
lim sup
x
→
x
0
f
(
x
)
≤
sup
x
∈
X
f
(
x
)
{\displaystyle \inf _{x\in X}f(x)\leq \liminf f(x)\leq \limsup _{x\to x_{0}}f(x)\leq \sup _{x\in X}f(x)}
순서체
(
K
,
≤
)
{\displaystyle (K,\leq )}
그물
a
,
b
:
I
→
K
{\displaystyle a,b\colon I\to K}
에 대하여, 만약 아래 부등식들의 우변이 존재한다면, 다음이 성립한다.
lim sup
i
∈
I
(
a
i
+
b
i
)
≤
lim sup
i
∈
I
(
a
i
)
+
lim sup
i
∈
I
(
b
i
)
{\displaystyle \limsup _{i\in I}(a_{i}+b_{i})\leq \limsup _{i\in I}(a_{i})+\limsup _{i\in I}(b_{i})}
lim inf
i
∈
I
(
a
i
+
b
i
)
≥
lim inf
i
∈
I
(
a
i
)
+
lim inf
i
∈
I
(
b
i
)
{\displaystyle \liminf _{i\in I}(a_{i}+b_{i})\geq \liminf _{i\in I}(a_{i})+\liminf _{i\in I}(b_{i})}
또한, 만약
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
수열
x
n
=
sin
n
{\displaystyle x_{n}=\sin n}
π 가 무리수 이므로 다음이 성립한다.
lim inf
n
→
∞
x
n
=
−
1
{\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}=-1}
lim sup
n
→
∞
x
n
=
+
1
{\displaystyle \limsup _{n\to \infty }x_{n}=+1}
이는 균등 분포 정리 에 의해
1
,
2
,
3
,
…
mod
2
π
{\displaystyle 1,2,3,\ldots \,{\bmod {\,}}2\pi }
균등 분포 이기 때문이다.
쌍둥이 소수 추측 은 다음과 같은 내용을 담는다.
lim inf
n
→
∞
(
p
n
+
1
−
p
n
)
=
2
{\displaystyle \liminf _{n\to \infty }(p_{n+1}-p_{n})=2}
여기서
p
n
{\displaystyle p_{n}}
n
{\displaystyle n}
소수 이다.
f
{\displaystyle f}
위상수학자의 사인 곡선 )위상수학자의 사인 곡선 을 정의하는 함수
f
:
R
→
R
{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
f
:
x
↦
{
sin
(
1
/
x
)
x
≠
0
0
x
=
0
{\displaystyle f\colon x\mapsto {\begin{cases}\sin(1/x)&x\neq 0\\0&x=0\end{cases}}}
를 생각하자. 그렇다면,
lim inf
x
→
0
f
(
x
)
=
−
1
{\displaystyle \liminf _{x\to 0}f(x)=-1}
lim sup
x
→
0
f
(
x
)
=
1
{\displaystyle \limsup _{x\to 0}f(x)=1}
이다. (사실,
f
(
0
)
{\displaystyle f(0)}
![{\displaystyle Y={\bar {\mathbb {R} }}=[-\infty ,\infty ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cccba441a397b82efbb3039ba3bb6a9507b88f86)
![{\displaystyle {\bar {\mathbb {R} }}=[-\infty ,\infty ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/420009097573b8beb39c08264e274a58de771825)
.svg)
