하르톡스 확장정리

다변수 복소해석학에서 하르톡스 확장 정리(Hartogs’ extension theorem, -擴張定理)는 복소 일변수의 해석학에서는 성립하지 않는 복소 다변수만의 특성을 다루는 정리다.

정의

하르톡스 확장 정리는 다음과 같이 공식화할 수 있다.

• $C^{n}$ (n>1)의 적당한 열린집합 G와 G의 콤팩트 집합 K에 대해 G/K가 연결 집합일 때, f가 G/K 위에서 정의된 C로 가는 정칙 함수라 하자. 그러면, G에서 C로 가는 f의 확장 함수가 유일하게 존재한다.

일변수에서의 반례

이상의 하르톡스 확장 정리는 일변수에서는 성립하지 않는다. C/{0}에서 C로 가는 함수 $f(z):={\frac {1}{z}}$를 생각하자. {0}은 C에서 콤팩트 집합이고 C/{0}은 연결 집합이며 f(z)는 정칙 함수이므로 이 함수는 하르톡스 확장 정리의 조건을 만족한다. 그러나 이 함수는 C로 확장 불가능한 함수이다. 이처럼 하르톡스 확장 정리가 성립하는 것은 일변수에서 성립하지 않는 다변수에서만의 현상인데, 이를 일컬어 하르톡스 현상(Hartogs’ phenomenon)이라고 한다.

역사

독일의 수학자 프리드리히 하르톡스가 1906년에 증명하였다.

외부 링크

• 하르톡스 확장정리 : 플래닛매스 Archived 2012년 3월 30일 - 웨이백 머신
• 하르톡스 확장정리의 증명 : 플래닛매스
• 일변수에서 하르톡스 확장정리의 불성립 : 플래닛매스