하틀-호킹 상태

양자 중력에서 하틀-호킹 상태(영어: Hartle–Hawking state)는 경로 적분으로 정의되는, 우주의 바닥 상태이며, 휠러-디윗 방정식을 만족시킨다.

정의

하틀-호킹 상태는 3차원 리만 다양체 $(\Sigma ,h_{ij})$ 및 그 위에 정의된 양자장 $\phi _{0}$들의 공간 위에 정의되는 범함수 $\Psi [h_{ij},\phi _{0}]$이다. 이는 양의 우주 상수 $\Lambda >0$에 대해서만 정의되며, 다음과 같은 경로 적분으로 정의된다.

$\Psi [h_{ij},\phi _{0}]=\int _{g|_{\Sigma }=h,\phi |_{\Sigma }=\phi _{0}}Dg\,D\phi \,\exp \left(-\int _{M}dx^{4}\,{\sqrt {g}}\left(R+2\Lambda +{\mathcal {L}}[\phi ]\right)\right)$

여기서 $\int {\sqrt {g}}R+2\Lambda$는 아인슈타인-힐베르트 작용이며, ${\mathcal {L}}[\phi ]$는 다른 양자장들의 작용이다. $\int _{g|_{\Sigma }=h}Dg$는 다음을 만족시키는 4차원 리만 다양체 $(M,g)$들에 대한 경로 적분이다.

• $(M,g)$는 (유클리드 부호수) 리만 다양체이다.
• $(\partial M,g|_{\partial M})=(\Sigma ,h)$이다. 즉, $M$의 경계는 $\Sigma$이며, 그 위에 유도되는 계량 (제1 기본 형식)은 $h$이다.

이 경로 적분이 잘 정의되려면 $\Lambda >0$이어야만 한다. 만약 $\Lambda \leq 0$이라면, 매우 부피가 크지만 작용이 작은 $(M,g)$가 존재하여, 경로 적분이 발산하기 때문이다. 이 경우 하틀-호킹 상태는 정규화될 수 없다.

역사

제임스 하틀(James B. Hartle)과 스티븐 호킹이 1983년 제안하였다.

각주

• Page, Don N. (2007년 1월). “Susskind's Challenge to the Hartle-Hawking No-Boundary Proposal and Possible Resolutions”. 《Journal of Cosmology and Astroparticle Physics》 (영어) 2007 (1): 4. arXiv:hep-th/0610199. Bibcode:2007JCAP...01..004P. doi:10.1088/1475-7516/2007/01/004.