해밀토니언 (Hamiltonian,
H
^
{\displaystyle {\hat {H}}}
H
{\displaystyle H}
)은 양자 상태의 시간 변화를 생성하는 에르미트 연산자이다. 이는 고전 해밀턴 역학 에서 해밀토니언 을 양자화 하여 얻을 수 있고, 고전적인 에너지 를 나타낸다.
여기서 좌표 q는 대상으로 하는 계의 운동을 나타내는 한 임의로 선택할 수 있고, 운동량 p는 이에 따라 정해진다. 이와 같이 좌표와 운동량이 특별한 관계를 가지며, 이 관계를 정준공액, 이 경우의 좌표와 운동량을 정준켤례인 역학변수라 한다. 따라서 해밀토니안은 정준공액인 역학변수로 에너지를 표현한 것이다.
고전역학 에서 해밀토니언 H는 라그랑지언 L의 일반화 속도 를 일반화 운동량 으로 르장드르 변환 한 것을 말한다.
H
(
q
i
,
p
i
,
t
)
≡
∑
i
p
i
q
˙
i
−
L
(
q
i
,
q
˙
i
,
t
)
{\displaystyle H(q_{i},\;p_{i},\;t)\equiv \sum _{i}p_{i}{\dot {q}}_{i}-L(q_{i},\;{\dot {q}}_{i},\;t)}
당초 고전역학에서는 T를 운동 에너지 , U를 위치 에너지 로 전에너지 H를
H
=
H
(
q
,
p
;
t
)
=
T
(
p
)
+
U
(
q
)
{\displaystyle H=H(q,p;t)\,=T(p)+U(q)}
로 일반좌표 q , 일반운동량 p 에 따라 표시하는 함수였다. 식에서 t는 시간을 나타낸다.
만약 퍼텐셜 U가 시간의 함수가 아니고
V
=
V
(
q
i
)
{\displaystyle V=V(q_{i})}
∂
V
∂
t
=
0
{\displaystyle {\partial V \over \partial t}=0}
주어진 일반화 좌표 가 관성계 여서 운동에너지 가
q
˙
i
{\displaystyle {\dot {q}}_{i}}
이차 형식 , 즉 제곱으로 나타낼 때,
T
=
∑
i
c
i
q
˙
i
2
{\displaystyle T=\sum _{i}c_{i}{\dot {q}}_{i}^{2}}
(여기서 ci 는 임의의 상수) 아래의 관계식이 만족되어
∑
i
p
i
q
˙
i
=
∑
i
q
˙
i
∂
L
∂
q
˙
i
=
∑
i
q
˙
i
∂
T
∂
q
˙
i
=
∑
i
2
c
i
q
˙
i
2
=
2
T
{\displaystyle \sum _{i}p_{i}{\dot {q}}_{i}=\sum _{i}{\dot {q}}_{i}{\partial L \over \partial {\dot {q}}_{i}}=\sum _{i}{\dot {q}}_{i}{\partial T \over \partial {\dot {q}}_{i}}=\sum _{i}2c_{i}{\dot {q}}_{i}^{2}=2T}
이를 해밀토니언에 대입하면
H
=
T
(
q
i
,
q
˙
i
)
+
V
(
q
i
)
{\displaystyle H=T(q_{i},\;{\dot {q}}_{i})+V(q_{i})}
이 된다. 이러한 경우, 해밀토니언 H를 기하적 에너지 E라 정의한다.
해밀토니언에 대한 시간의 전미분은 다음과 같다.
d
H
d
t
=
∂
H
∂
t
+
∑
i
∂
H
∂
q
i
q
˙
i
+
∑
i
∂
H
∂
p
i
p
˙
i
{\displaystyle {dH \over dt}={\partial H \over \partial t}+\sum _{i}{\partial H \over \partial q_{i}}{\dot {q}}_{i}+\sum _{i}{\partial H \over \partial p_{i}}{\dot {p}}_{i}}
그런데 여기에 해밀턴 방정식
∂
H
/
∂
q
i
=
−
p
˙
i
{\displaystyle \partial H/\partial q_{i}=-{\dot {p}}_{i}}
∂
H
/
∂
p
i
=
q
˙
i
{\displaystyle \partial H/\partial p_{i}={\dot {q}}_{i}}
d
H
d
t
=
∂
H
∂
t
{\displaystyle {dH \over dt}={\partial H \over \partial t}}
따라서 해밀토니언이 직접적인 시간의 함수가 아니라면
d
H
d
t
=
0
{\displaystyle {dH \over dt}=0}
이 되어 해밀토니언이 운동 상수 가 됨을 알 수 있다. 이런 해밀토니언을 갖는 계 를 역학적 에너지 가 보존되는 계라 하여 보존계 conservative system )라 한다.
양자역학 에서 해밀토니언은 계 의 운동에너지와 포텐셜 에너지의 합으로 전체 에너지 를 나타내는 관측가능량 이다. 다른 관측가능량들과 마찬가지로, 계의 전체 에너지를 측정할 때, 해밀토니언의 스펙트럼 은 관측 가능한 결과를 나타낸다. 다른 자체수반연산자 와 마찬가지로, 해밀토니언의 스펙트럼 또한 스펙트럼의 측정을 통해 순수한 점, 완전히 연속이거나 특이점이 있는 경우 등을 분해할 수 있다. 순수한 점 스펙트럼은 계의 특정한 속박상태 를 나타내는 고유벡터 로 취급될 수도 있다. 완전히 연속인 스펙트럼의 경우는, 상태의 선택이 자유로움을 의미한다. 특이점이 있는 스펙트럼의 경우는, 물리학적으로 불가능한 결과를 포함하기도 한다. 예를 들어, 유한한 퍼텐셜 우물 을 생각해보자. 이 때, 속박 상태의 경우는 음의 에너지, 연속적인 자유로운 상태는 양의 에너지를 가지게 된다.
