미분기하학 에서 정칙 벡터 다발 (正則vector다발, 영어 : holomorphic vector bundle ) 또는 해석적 벡터 다발 (解析的vector다발, 영어 : analytic vector bundle )은 복소다양체 위에 정의된, 사영 사상이 정칙 함수 인 복소수 벡터 다발 이다.[ 1]
정칙 벡터 다발
π
:
E
↠
M
{\displaystyle \pi \colon E\twoheadrightarrow M}
벡터 다발
π
∗
:
E
∗
↠
M
{\displaystyle \pi ^{*}\colon E^{*}\twoheadrightarrow M}
을 정의할 수 있다. 그 올
E
x
∗
=
hom
C
(
E
x
,
C
)
{\displaystyle E_{x}^{*}=\hom _{\mathbb {C} }(E_{x},\mathbb {C} )}
은
E
x
{\displaystyle E_{x}}
쌍대 공간 이다.
반면, 정칙 벡터 다발의 켤레 벡터 다발 은 일반적으로 정칙 벡터 다발이 아니다.
정칙 벡터 다발
E
→
M
{\displaystyle E\to M}
코호몰로지
H
∙
(
−
,
O
(
E
)
)
{\displaystyle H^{\bullet }(-,{\mathcal {O}}(E))}
층
O
(
E
)
{\displaystyle {\mathcal {O}}(E)}
층 코호몰로지 다. 이 경우, 낮은 차수의 코호몰로지 군은 다음을 나타낸다.
H
0
(
M
,
O
(
E
)
)
{\displaystyle H^{0}(M,{\mathcal {O}}(E))}
E
{\displaystyle E}
아벨 군 이다.
H
1
(
M
,
O
(
E
)
)
{\displaystyle H^{1}(M,{\mathcal {O}}(E))}
선다발 의
E
{\displaystyle E}
아벨 군 이다. 즉, 다음과 같은 꼴의 짧은 완전열 을 이루는 해석적 벡터 다발
F
{\displaystyle F}
0
→
E
→
F
→
M
×
C
→
0
{\displaystyle 0\to E\to F\to M\times \mathbb {C} \to 0}
복소다양체
M
{\displaystyle M}
매끄러운 벡터 다발
E
↠
M
{\displaystyle E\twoheadrightarrow M}
벡터 다발 접속
∇
{\displaystyle \nabla }
매끄러운 함수 위에 다음과 같이 작용한다.
∇
:
Γ
∞
(
T
E
)
→
Γ
∞
(
T
∗
M
⊗
R
E
)
=
Ω
1
(
E
)
{\displaystyle \nabla \colon \Gamma ^{\infty }(\mathrm {T} E)\to \Gamma ^{\infty }(\mathrm {T} ^{*}M\otimes _{\mathbb {R} }E)=\Omega ^{1}(E)}
그런데 복소다양체에서 쌍대접공간
T
x
∗
M
{\displaystyle \mathrm {T} _{x}^{*}M}
T
x
∗
M
⊗
R
C
{\displaystyle \mathrm {T} _{x}^{*}M\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }
T
x
∗
M
⊗
R
C
=
T
x
(
0
,
1
)
∗
M
⊕
T
x
(
1
,
0
)
∗
M
{\displaystyle \mathrm {T} _{x}^{*}M\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} =\mathrm {T} _{x}^{(0,1)*}M\oplus \mathrm {T} _{x}^{(1,0)*}M}
즉,
T
∗
M
⊗
R
E
=
(
T
∗
M
⊗
R
C
)
⊗
C
E
=
(
T
(
0
,
1
)
∗
M
⊗
C
E
)
⊕
(
T
(
1
,
0
)
∗
M
⊗
C
E
)
{\displaystyle \mathrm {T} ^{*}M\otimes _{\mathbb {R} }E=(\mathrm {T} ^{*}M\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} )\otimes _{\mathbb {C} }E=(\mathrm {T} ^{(0,1)*}M\otimes _{\mathbb {C} }E)\oplus (\mathrm {T} ^{(1,0)*}M\otimes _{\mathbb {C} }E)}
와 같은 분해가 존재한다. 이에 따라, 벡터 다발 접속
∇
{\displaystyle \nabla }
∇
(
1
,
0
)
:
Ω
0
(
M
;
E
)
→
Ω
1
,
0
(
M
;
E
)
{\displaystyle \nabla ^{(1,0)}\colon \Omega ^{0}(M;E)\to \Omega ^{1,0}(M;E)}
∇
(
0
,
1
)
:
Ω
0
(
M
;
E
)
→
Ω
0
,
1
(
M
;
E
)
{\displaystyle \nabla ^{(0,1)}\colon \Omega ^{0}(M;E)\to \Omega ^{0,1}(M;E)}
이제,
E
{\displaystyle E}
∂
¯
:
Ω
0
(
M
;
E
)
→
Ω
0
,
1
(
M
;
E
)
{\displaystyle {\bar {\partial }}\colon \Omega ^{0}(M;E)\to \Omega ^{0,1}(M;E)}
가 잘 정의된다. (이는
E
{\displaystyle E}
정칙 함수 이기 때문이다. 반면,
∂
:
Ω
0
(
M
;
E
)
→
Ω
1
,
0
(
M
;
E
)
{\displaystyle \partial \colon \Omega ^{0}(M;E)\to \Omega ^{1,0}(M;E)}
E
{\displaystyle E}
∂
{\displaystyle \partial }
∂
¯
{\displaystyle {\bar {\partial }}}
∇
(
0
,
1
)
=
∂
¯
{\displaystyle \nabla ^{(0,1)}={\bar {\partial }}}
이라면, 접속
∇
{\displaystyle \nabla }
정칙 접속 (영어 : holomorphic connection )이라고 한다.
에르미트 계량
⟨
−
,
−
⟩
{\displaystyle \langle -,-\rangle }
복소수 벡터 다발
E
↠
M
{\displaystyle E\twoheadrightarrow M}
에르미트 접속
E
{\displaystyle E}
벡터 다발 접속 의 개념을 생각할 수 있다. 이러한 접속은 항상 유일하게 존재하며, 이를 천 접속 ([陳]接續, 영어 : Chern connection )이라고 한다. 천 접속의 곡률은 (1,1)차 복소수 미분 형식 이다.
만약
E
{\displaystyle E}
켈러 다양체 의 정칙 접다발 인 경우, 천 접속은 리만 계량 으로 유도되는 레비치비타 접속 과 같다.
정칙 선다발
π
:
L
→
M
{\displaystyle \pi \colon L\to M}
ϕ
i
:
π
−
1
(
U
i
)
→
U
i
×
C
{\displaystyle \phi _{i}\colon \pi ^{-1}(U_{i})\to U_{i}\times \mathbb {C} }
가 주어졌다고 하고, 그 전이 함수가
g
i
j
:
U
i
∩
U
j
→
C
×
{\displaystyle g_{ij}\colon U_{i}\cap U_{j}\to \mathbb {C} ^{\times }}
라고 하자. 이 경우, 에르미트 계량은 항상
⟨
s
,
t
⟩
(
z
)
=
exp
(
2
a
i
(
z
)
)
s
¯
t
∀
s
,
t
∈
Γ
(
U
i
,
L
)
{\displaystyle \langle s,t\rangle (z)=\exp(2a_{i}(z)){\bar {s}}t\qquad \forall s,t\in \Gamma (U_{i},L)}
a
i
:
U
i
→
R
{\displaystyle a_{i}\colon U_{i}\to \mathbb {R} }
이게 놓을 수 있으며, 에르미트 계량의 조건은
a
j
(
x
)
=
a
i
(
x
)
+
ln
|
g
i
j
|
∀
x
∈
U
i
∩
U
j
{\displaystyle a_{j}(x)=a_{i}(x)+\ln |g_{ij}|\qquad \forall x\in U_{i}\cap U_{j}}
인 것이다. 이 경우, 천 접속의 곡률은
F
↾
U
i
=
−
1
2
i
∂
∂
¯
a
i
{\displaystyle F\upharpoonright U_{i}=-{\frac {1}{2}}\mathrm {i} \partial {\bar {\partial }}a_{i}}
로 주어진다.
복소다양체
M
{\displaystyle M}
T
M
{\displaystyle \mathrm {T} M}
복소구조
J
:
T
M
→
T
M
{\displaystyle J\colon \mathrm {T} M\to \mathrm {T} M}
J
2
=
−
1
{\displaystyle J^{2}=-1}
J
:
T
M
⊗
C
→
T
M
⊗
C
{\displaystyle J\colon \mathrm {T} M\otimes \mathbb {C} \to \mathrm {T} M\otimes \mathbb {C} }
의 고윳값 은
±
i
{\displaystyle \pm \mathrm {i} }
T
M
⊗
C
=
T
+
M
⊕
T
−
M
{\displaystyle \mathrm {T} M\otimes \mathbb {C} =\mathbb {T} ^{+}M\oplus \mathrm {T} ^{-}M}
으로 분해된다. 이 경우,
T
+
M
{\displaystyle \mathrm {T} ^{+}M}
정칙 접다발 (영어 : holomorphic tangent bundle )이라고 하며, 정칙 벡터 다발이다. (반면,
T
−
M
{\displaystyle \mathrm {T} ^{-}M}
비특이 복소수 대수다양체
X
{\displaystyle X}
대수적 벡터 다발
E
↠
X
{\displaystyle E\twoheadrightarrow X}
X
an
{\displaystyle X^{\operatorname {an} }}
복소다양체 사이의 정칙 함수
E
an
↠
X
an
{\displaystyle E^{\operatorname {an} }\twoheadrightarrow X^{\operatorname {an} }}
반대로, 만약
X
{\displaystyle X}
사영 대수다양체 라면,
X
an
{\displaystyle X^{\operatorname {an} }}
X
{\displaystyle X}
대수적 벡터 다발 에서 유래한다. 이는 가가 정리 의 한 경우이다.
복소수 벡터 공간
C
n
{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}
C
m
×
C
n
↠
C
n
{\displaystyle \mathbb {C} ^{m}\times \mathbb {C} ^{n}\twoheadrightarrow \mathbb {C} ^{n}}
은 (자명하게) 정칙 벡터 다발이다.
에르미트 정칙 벡터 다발의 천 접속은 천싱선 이 도입하였다.
