S ,Σ ,μ 가 측도 공간 이고, p , q ∈ R 가 1 ≤ p , q ≤ ∞ 이고 1/p + 1/q = 1 을 만족한다고 하자. 이때 모든 실함수 , 복소함수 가운데 S 에서 가측 함수 f , g 에 대하여 다음과 같은 관계가 성립한다.
‖
f
g
‖
1
≤
‖
f
‖
p
‖
g
‖
q
.
{\displaystyle \|fg\|_{1}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}.}
부등식은 ||fg ||1 의 값이 무한일 때에도 성립하며, 우변의 값이 무한인 경우에도 성립한다. 또, 만약 f ∈ Lp μ ) , g ∈ Lq μ )일 때, fg ∈ L1 (μ )가 성립한다.
1 < p , q < ∞ and f ∈ Lp μ ) and g ∈ Lq μ )일 때, 횔더 부등식의 등호가 성립할 필요충분조건 은 |f |p g |q 1 에서 일차 종속 일 때 만족한다. 즉, α , β ≥ 0 인 α , β 가 존재하여, 측도가 0인 집합을 제외한 모든 점에서 α |f |p β |g |q
(||f ||p β = 0이다.||g ||q α = 0이다.)
이때 p 와 q 는 횔더 켤레 (Hölder conjugates )이다. p = q = 2인 경우, 이 부등식은 코시-슈바르츠 부등식 이 된다.
횔더 부등식은 Lp μ )에서 삼각 부등식 과 민코프스키 부등식 을 증명하기 위해 사용하며, Lp μ )의 쌍대공간 Lq μ )를 구성하기 위해 사용한다. (1 ≤ q < ∞)
횔더 부등식은 여러 규약(convention)에 많이 사용된다.
횔더 켤레의 정의에 의하면, 1/∞은 0을 뜻한다.
만약 1 ≤ p , q < ∞ 이면, ||f ||p g ||q
(
∫
S
|
f
|
p
d
μ
)
1
/
p
{\displaystyle {\biggl (}\int _{S}|f|^{p}\,\mathrm {d} \mu {\biggr )}^{1/p}}
(
∫
S
|
g
|
q
d
μ
)
1
/
q
.
{\displaystyle {\biggl (}\int _{S}|g|^{q}\,\mathrm {d} \mu {\biggr )}^{1/q}.}
만약 p = ∞ 이면, ||f ||∞ 는 |f |의 본질적 상한 으로 정의한다. 같은 방식으로 ||g ||∞ 도 정의한다.
횔더 부등식의 우변에서, 0 곱하기 ∞ 과 ∞ 곱하기 0는 0으로 약속한다. r ∈ (0,∞) 이고 p 1 , …, pn ∈ (0,∞]이고 다음의 부등식을 만족한다고 가정하자.
∑
k
=
1
n
1
p
k
=
1
r
.
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{p_{k}}}={\frac {1}{r}}.}
이때, S 에서 정의된 측정 가능한 모든 실함수, 복소함수 f 1 , …, fn 에 대하여,
‖
∏
k
=
1
n
f
k
‖
r
≤
∏
k
=
1
n
‖
f
k
‖
p
k
.
{\displaystyle {\biggl \|}\prod _{k=1}^{n}f_{k}{\biggr \|}_{r}\leq \prod _{k=1}^{n}\|f_{k}\|_{p_{k}}.}
가 성립한다.
또한, 다음도 성립한다.
f
k
∈
L
p
k
(
μ
)
∀
k
∈
{
1
,
…
,
n
}
⟹
∏
k
=
1
n
f
k
∈
L
r
(
μ
)
.
{\displaystyle f_{k}\in L^{p_{k}}(\mu )\;\;\forall k\in \{1,\ldots ,n\}\implies \prod _{k=1}^{n}f_{k}\in L^{r}(\mu ).}
주의: r ∈ (0,1)에 대해, ||.||r 삼각 부등식 이 성립하지 않기 때문에 노름 이 아니다.
p ∈ (1,∞)이고, 측도 공간 (S ,Σ ,μ )이 μ (S ) > 0를 만족한다고 가정하자. 이때, S 에서 측정 가능한 모든 실함수, 복소함수 f , g (이때, g (s ) ≠ 0 측도 μ 값이 0이 되는 집합을 제외한 거의 모든 s ∈ S )에 대하여 다음이 성립한다.
‖
f
g
‖
1
≥
‖
f
‖
1
/
p
‖
g
‖
−
1
/
(
p
−
1
)
.
{\displaystyle \|fg\|_{1}\geq \|f\|_{1/p}\,\|g\|_{-1/(p-1)}.}
만약, ||fg ||1 < ∞ 이고 ||g ||−1/(p −1) > 0 이면, 역 횔더 부등식에서 등호가 성립할 필요충분조건은 α ≥ 0 에 대해
|
f
|
=
α
|
g
|
−
p
/
(
p
−
1
)
{\displaystyle |f|=\alpha |g|^{-p/(p-1)}\,}
이 측도 μ 값이 0이 되는 집합을 제외한 거의 모든 집합에서 성립할 때이다.
주의: ||f ||1/p 와 ||g ||−1/(p −1) 는 노름이 아니고, 다음의 식을 간단히 나타낸다.
(
∫
S
|
f
|
1
/
p
d
μ
)
p
{\displaystyle {\biggl (}\int _{S}|f|^{1/p}\,\mathrm {d} \mu {\biggr )}^{\!p}}
(
∫
S
|
g
|
−
1
/
(
p
−
1
)
d
μ
)
−
(
p
−
1
)
.
{\displaystyle {\biggl (}\int _{S}|g|^{-1/(p-1)}\,\mathrm {d} \mu {\biggr )}^{-(p-1)}.}
(
Ω
,
F
,
P
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}
확률 공간 이라 하고,
G
⊂
F
{\displaystyle {\mathcal {G}}\subset {\mathcal {F}}}
시그마 대수 라 하고, 횔더 켤레 p , q ∈ (1,∞)라 하면, 모든 실수, 복소수 값을 갖는 Ω에서의 확률 변수 X , Y 에 대하여 다음이 성립한다.
E
[
|
X
Y
|
|
G
]
≤
(
E
[
|
X
|
p
|
G
]
)
1
/
p
(
E
[
|
Y
|
q
|
G
]
)
1
/
q
P
-almost surely.
{\displaystyle \operatorname {E} {\bigl [}|XY|{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}\leq {\bigl (}\operatorname {E} {\bigl [}|X|^{p}{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}{\bigr )}^{1/p}\,{\bigl (}\operatorname {E} {\bigl [}|Y|^{q}{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}{\bigr )}^{1/q}\qquad \mathbb {P} {\text{-almost surely.}}}
특이 사항:
만약 음이 아닌 확률변수 Z 가 기댓값이 무한이라면, 이때 Z 의 조건부 평균 은 다음과 같이 정의한다.
E
[
Z
|
G
]
=
sup
n
∈
N
E
[
min
{
Z
,
n
}
|
G
]
a.s.
{\displaystyle \operatorname {E} [Z|{\mathcal {G}}]=\sup _{n\in \mathbb {N} }\,\operatorname {E} [\min\{Z,n\}|{\mathcal {G}}]\quad {\text{a.s.}}}
조건부 횔더 부등식의 우변에서, 0 곱하기 ∞ , ∞ 곱하기 0 은 0으로 생각한다. a > 0 에 ∞를 곱해도 ∞으로 생각한다.
p 와 q 가 (1,∞) 열린구간 에 속한다고 가정하자.
n 차원 유클리드 공간 의 집합 S = {1, …, n } 가 셈측도 를 측도로 가질 때, 다음 부등식이 성립한다.
∑
k
=
1
n
|
x
k
y
k
|
≤
(
∑
k
=
1
n
|
x
k
|
p
)
1
/
p
(
∑
k
=
1
n
|
y
k
|
q
)
1
/
q
for all
(
x
1
,
…
,
x
n
)
,
(
y
1
,
…
.
y
n
)
∈
R
n
or
C
n
.
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|x_{k}\,y_{k}|\leq {\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}{\biggr )}^{\!1/p\;}{\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{q}{\biggr )}^{\!1/q}{\text{ for all }}(x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{1},\ldots .y_{n})\in \mathbb {R} ^{n}{\text{ or }}\mathbb {C} ^{n}.}
만약
S
=
N
{\displaystyle S=\mathbb {N} }
셈측도 를 측도로 가질 때, 수열 공간 에서의 횔더 부등식을 얻을 수 있다.
∑
k
=
1
∞
|
x
k
y
k
|
≤
(
∑
k
=
1
∞
|
x
k
|
p
)
1
/
p
(
∑
k
=
1
∞
|
y
k
|
q
)
1
/
q
for all
(
x
k
)
k
∈
N
,
(
y
k
)
k
∈
N
∈
R
N
or
C
N
.
{\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{\infty }|x_{k}\,y_{k}|\leq {\biggl (}\sum _{k=1}^{\infty }|x_{k}|^{p}{\biggr )}^{\!1/p\;}{\biggl (}\sum _{k=1}^{\infty }|y_{k}|^{q}{\biggr )}^{\!1/q}{\text{ for all }}(x_{k})_{k\in \mathbb {N} },(y_{k})_{k\in \mathbb {N} }\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }{\text{ or }}\mathbb {C} ^{\mathbb {N} }.}
만약 S 가 르베그 측도 를 측도로 갖는 R n 가측 집합 일 때, f , g 는 S 에서 가측 실함수, 복소함수이다. 이때, 횔더 부등식은 다음과 같이 성립한다.
∫
S
|
f
(
x
)
g
(
x
)
|
d
x
≤
(
∫
S
|
f
(
x
)
|
p
d
x
)
1
/
p
(
∫
S
|
g
(
x
)
|
q
d
x
)
1
/
q
.
{\displaystyle \int _{S}{\bigl |}f(x)g(x){\bigr |}\,\mathrm {d} x\leq {\biggl (}\int _{S}|f(x)|^{p}\,\mathrm {d} x{\biggr )}^{\!1/p\;}{\biggl (}\int _{S}|g(x)|^{q}\,\mathrm {d} x{\biggr )}^{\!1/q}.}
확률 공간
(
Ω
,
F
,
P
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}
E
{\displaystyle \operatorname {E} }
기댓값 연산으로 정의하자. Ω에서 실수, 복소수값을 갖는 확률 변수 X 와 Y 에 대해, 횔더 부등식은 다음과 같이 성립한다.
E
|
X
Y
|
≤
(
E
|
X
|
p
)
1
/
p
(
E
|
Y
|
q
)
1
/
q
.
{\displaystyle \operatorname {E} |XY|\leq {\bigl (}\operatorname {E} |X|^{p}{\bigr )}^{1/p}\;{\bigl (}\operatorname {E} |Y|^{q}{\bigr )}^{1/q}.}
0 < r < s 이고, p = s/r라 정의하자. 이때, q = p /(p −1)는 p 의 횔더 켤레다. 횔더 부등식을 확률 변수 |X |r Ω 에 대해 적용하면 다음식을 얻을 수 있다.
E
|
X
|
r
≤
(
E
|
X
|
s
)
r
/
s
.
{\displaystyle \operatorname {E} |X|^{r}\leq {\bigl (}\operatorname {E} |X|^{s}{\bigr )}^{r/s}.}
s 의 절대 모멘트 가 유한할 때, r 의 절대 모멘트도 유한하다. (이 결과는 옌센 부등식 을 통해서도 얻을 수 있다.)
횔더 부등식을 증명하는 방법에는 여러 개가 있으나, 영 부등식 을 사용하여 증명하겠다.
만약 ||f ||p f 는 측도 μ 값이 0인 집합을 제외한 거의 모든 곳에서 0이고, 따라서 fg 도 μ 값이 0인 집합을 제외한 거의 모든 곳에서 0이다. 즉, 횔더 부등식의 좌변의 값이 0이다. ||g ||q f ||p g ||q
만약 ||f ||p g ||q f ||p g ||q
만약 p = ∞ , q = 1이면, 거의 모든 점에서 |fg | ≤ ||f ||∞ |g| 가 성립한다. 르베그 적분의 단조성에 의해 횔더 부등식을 증명할 수 있다. 마찬가지로, p = 1 and q = ∞ 일 때도 이 방법으로 증명할 수 있다. 따라서 p , q ∈ (1,∞)라고 가정할 수 있다.
아래의 영 부등식을 사용한다. 이 부등식에서 등호가 성립할 필요충분조건은 모든 음이 아닌 수 a , b 에 대하여 ap = bq 일 때이다.
a
b
≤
a
p
p
+
b
q
q
,
{\displaystyle ab\leq {\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}},}
이를 적용하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.
a
=
|
f
(
s
)
|
‖
f
(
s
)
‖
p
,
b
=
|
g
(
s
)
|
‖
g
(
s
)
‖
q
{\displaystyle a={\frac {\left\vert f(s)\right\vert }{\lVert f(s)\rVert _{p}}},b={\frac {\left\vert g(s)\right\vert }{\lVert g(s)\rVert _{q}}}}
|
f
(
s
)
|
‖
f
‖
p
|
g
(
s
)
|
‖
g
‖
q
≤
(
|
f
(
s
)
|
‖
f
‖
p
)
p
p
+
(
|
g
(
s
)
|
‖
g
‖
q
)
q
q
,
s
∈
S
.
{\displaystyle {\frac {|f(s)|}{\|f\|_{p}}}{\frac {|g(s)|}{\|g\|_{q}}}\leq {\frac {({\frac {|f(s)|}{\|f\|_{p}}})^{p}}{p}}+{\frac {({\frac {|g(s)|}{\|g\|_{q}}})^{q}}{q}},\qquad s\in S.}
주어진 양변을 적분하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다. 이때 ||f ||p g ||q
‖
f
g
‖
1
‖
f
‖
p
‖
g
‖
q
≤
1
p
(
‖
f
‖
p
)
p
∫
S
|
f
|
p
+
1
q
(
‖
g
‖
q
)
q
∫
S
|
g
|
q
{\displaystyle {\frac {\|fg\|_{1}}{\lVert f\rVert _{p}\lVert g\rVert _{q}}}\leq {\frac {1}{p(\|f\|_{p})^{p}}}\int _{S}^{}|f|^{p}+{\frac {1}{q(\|g\|_{q})^{q}}}\int _{S}^{}|g|^{q}}
이때, 가정에서 p ,q ∈ (1,∞) 이라 가정했으므로 , ||f ||p g ||q
(
‖
f
‖
p
)
p
=
∫
S
|
f
|
p
,
(
‖
g
‖
q
)
q
=
∫
S
|
g
|
q
{\displaystyle (\lVert f\rVert _{p})^{p}=\int _{S}^{}|f|^{p},\quad (\lVert g\rVert _{q})^{q}=\int _{S}^{}|g|^{q}}
‖
f
g
‖
1
‖
f
‖
p
‖
g
‖
q
≤
1
p
+
1
q
=
1
{\displaystyle {\frac {\lVert fg\rVert _{1}}{\lVert f\rVert _{p}\lVert g\rVert _{q}}}\leq {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}
그리고, 양변에 ||f ||p g ||q
등호가 성립할 필요충분조건은 거의 모든 점에서
|
f
|
‖
f
‖
p
=
|
g
|
‖
g
‖
q
{\displaystyle {\frac {\left\vert f\right\vert }{\lVert f\rVert _{p}}}={\frac {\left\vert g\right\vert }{\lVert g\rVert _{q}}}}
횔더 부등식과 수학적 귀납법 을 사용하여 이를 증명할 수 있다. n = 1일 때 성립한다는 사실을 쉽게 알 수 있다. n − 1에서 성립한다고 가정하자. 이때, 일반성을 잃지 않게 p 1 ≤ … ≤ pn 라 가정할 수 있다.
1 : pn = ∞ 일 때,
∑
k
=
1
n
−
1
1
p
k
=
1
r
.
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{p_{k}}}={\frac {1}{r}}.}
가정과 |fn |의 본질적 상한을 사용하면,
‖
f
1
⋯
f
n
‖
r
≤
‖
f
1
⋯
f
n
−
1
‖
r
‖
f
n
‖
∞
≤
‖
f
1
‖
p
1
⋯
‖
f
n
−
1
‖
p
n
−
1
‖
f
n
‖
∞
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\|f_{1}\cdots f_{n}\|_{r}&\leq \|f_{1}\cdots f_{n-1}\|_{r}\|f_{n}\|_{\infty }\\&\leq \|f_{1}\|_{p_{1}}\cdots \|f_{n-1}\|_{p_{n-1}}\|f_{n}\|_{\infty }.\end{aligned}}}
을 얻을 수 있다.
2 : pn < ∞ 일 때,
p
:=
p
n
p
n
−
r
{\displaystyle p:={\frac {p_{n}}{p_{n}-r}}}
q
:=
p
n
r
{\displaystyle q:={\frac {p_{n}}{r}}}
는 (1,∞)사이의 값을 갖는 횔더 켤레이다. 이에 대해 횔더 부등식을 적용하면,
‖
|
f
1
⋯
f
n
−
1
|
r
|
f
n
|
r
‖
1
≤
‖
|
f
1
⋯
f
n
−
1
|
r
‖
p
‖
|
f
n
|
r
‖
q
.
{\displaystyle {\bigl \|}|f_{1}\cdots f_{n-1}|^{r}\,|f_{n}|^{r}{\bigr \|}_{1}\leq {\bigl \|}|f_{1}\cdots f_{n-1}|^{r}{\bigr \|}_{p}\,{\bigl \|}|f_{n}|^{r}{\bigr \|}_{q}.}
이를 다시 쓰면, 다음 식이 성립한다.
‖
f
1
⋯
f
n
‖
r
≤
‖
f
1
⋯
f
n
−
1
‖
p
r
‖
f
n
‖
q
r
.
{\displaystyle \|f_{1}\cdots f_{n}\|_{r}\leq \|f_{1}\cdots f_{n-1}\|_{pr}\|f_{n}\|_{qr}.}
qr = pn 이고,
∑
k
=
1
n
−
1
1
p
k
=
1
r
−
1
p
n
=
p
n
−
r
r
p
n
=
1
p
r
,
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{p_{k}}}={\frac {1}{r}}-{\frac {1}{p_{n}}}={\frac {p_{n}-r}{rp_{n}}}={\frac {1}{pr}}\,,}
이므로, 가정을 사용하면 원하는 부등식을 얻어낼 수 있다.
p 와
q
:=
p
p
−
1
∈
(
1
,
∞
)
{\displaystyle q:={\frac {p}{p-1}}\in (1,\infty )}
가 횔더 켤레라 하자. 횔더 부등식을 적용하면,
‖
|
f
|
1
/
p
‖
1
=
‖
|
f
g
|
1
/
p
|
g
|
−
1
/
p
‖
1
≤
‖
|
f
g
|
1
/
p
‖
p
‖
|
g
|
−
1
/
p
‖
q
=
‖
f
g
‖
1
1
/
p
‖
|
g
|
−
1
/
(
1
−
p
)
‖
1
(
p
−
1
)
/
p
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\bigl \|}|f|^{1/p}{\bigr \|}_{1}&={\bigl \|}|fg|^{1/p}\,|g|^{-1/p}{\bigr \|}_{1}\\&\leq {\bigl \|}|fg|^{1/p}{\bigr \|}_{p}\,{\bigl \|}|g|^{-1/p}{\bigr \|}_{q}=\|fg\|_{1}^{1/p}\,{\bigl \|}|g|^{-1/(1-p)}{\bigr \|}_{1}^{(p-1)/p}.\end{aligned}}}
양변을 p 제곱하여, ||fg ||1 에 대해 식을 쓰면 역 횔더 부등식을 얻을 수 있다.
g 가 거의 모든 점에서 0이 아니므로, 거의 모든 점에서 |fg | = α |g |−q /p 를 만족하는 상수 α ≥ 0가 존재할 때 등호가 성립하고 그 역도 성립한다.
확률변수를 다음과 같이 정의하자.
U
=
(
E
[
|
X
|
p
|
G
]
)
1
/
p
,
V
=
(
E
[
|
Y
|
q
|
G
]
)
1
/
q
{\displaystyle U={\bigl (}\operatorname {E} {\bigl [}|X|^{p}{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}{\bigr )}^{1/p},\qquad V={\bigl (}\operatorname {E} {\bigl [}|Y|^{q}{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}{\bigr )}^{1/q}}
이때, 이들은 부분 시그마 대수 에서 측정 가능하다. 이때
E
[
|
X
|
p
1
{
U
=
0
}
]
=
E
[
1
{
U
=
0
}
E
[
|
X
|
p
|
G
]
⏟
=
U
p
]
=
0
,
{\displaystyle \operatorname {E} {\bigl [}|X|^{p}1_{\{U=0\}}{\bigr ]}=\operatorname {E} {\bigl [}1_{\{U=0\}}\underbrace {\operatorname {E} {\bigl [}|X|^{p}{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}} _{=\,U^{p}}{\bigr ]}=0,}
집합 {U = 0}에서, 거의 확실하게(Almost Surely) |X | = 0이다. 마찬가지로, 집합 {V = 0}에서 거의 확실하게 |Y | = 0이다. 따라서,
E
[
|
X
Y
|
|
G
]
=
0
a.s. on
{
U
=
0
}
∪
{
V
=
0
}
{\displaystyle \operatorname {E} {\bigl [}|XY|{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}=0\qquad {\text{a.s. on }}\{U=0\}\cup \{V=0\}}
이고, 조건부 횔더 부등식은 이 집합에서 성립한다.
{
U
=
∞
,
V
>
0
}
∪
{
U
>
0
,
V
=
∞
}
{\displaystyle \{U=\infty ,V>0\}\cup \{U>0,V=\infty \}}
우변이 무한대라도 조건부 횔더 부등식은 성립한다. 양변을 우변의 값으로 나누면, 다음과 같이 된다.
E
[
|
X
Y
|
|
G
]
U
V
≤
1
{\displaystyle {\frac {\operatorname {E} {\bigl [}|XY|{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}}{UV}}\leq 1\qquad }
H
:=
{
0
<
U
<
∞
,
0
<
V
<
∞
}
{\displaystyle H:=\{0<U<\infty ,\,0<V<\infty \}}
이제 임의의 집합
G
∈
G
,
G
⊂
H
.
{\displaystyle G\in {\mathcal {G}},\quad G\subset H.}
에서 적분을 한 후에도 부등식이 성립하는지를 확인하면 된다.
U , V , 1G 시그마 대수 에서 측정 가능하므로, 조건부평균의 성질과 횔더 부등식을 이용하여 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.
E
[
E
[
|
X
Y
|
|
G
]
U
V
1
G
]
=
E
[
E
[
|
X
Y
|
U
V
1
G
|
G
]
]
=
E
[
|
X
|
U
1
G
⋅
|
Y
|
V
1
G
]
≤
(
E
[
|
X
|
p
U
p
1
G
]
)
1
/
p
(
E
[
|
Y
|
q
V
q
1
G
]
)
1
/
q
=
(
E
[
E
[
|
X
|
p
|
G
]
U
p
⏟
=
1
a.s. on
G
1
G
]
)
1
/
p
(
E
[
E
[
|
Y
|
q
|
G
]
V
p
⏟
=
1
a.s. on
G
1
G
]
)
1
/
q
=
E
[
1
G
]
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} {\biggl [}{\frac {\operatorname {E} {\bigl [}|XY|{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}}{UV}}1_{G}{\biggr ]}&=\operatorname {E} {\biggl [}\operatorname {E} {\biggl [}{\frac {|XY|}{UV}}1_{G}{\bigg |}\,{\mathcal {G}}{\biggr ]}{\biggr ]}\\&=\operatorname {E} {\biggl [}{\frac {|X|}{U}}1_{G}\cdot {\frac {|Y|}{V}}1_{G}{\biggr ]}\\&\leq {\biggl (}\operatorname {E} {\biggl [}{\frac {|X|^{p}}{U^{p}}}1_{G}{\biggr ]}{\biggr )}^{\!1/p\;}{\biggl (}\operatorname {E} {\biggl [}{\frac {|Y|^{q}}{V^{q}}}1_{G}{\biggr ]}{\biggr )}^{\!1/q}\\&={\biggl (}\operatorname {E} {\biggl [}\underbrace {\frac {\operatorname {E} {\bigl [}|X|^{p}{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}}{U^{p}}} _{=\,1{\text{ a.s. on }}G}1_{G}{\biggr ]}{\biggr )}^{\!1/p\;}{\biggl (}\operatorname {E} {\biggl [}\underbrace {\frac {\operatorname {E} {\bigl [}|Y|^{q}{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}}{V^{p}}} _{=\,1{\text{ a.s. on }}G}1_{G}{\biggr ]}{\biggr )}^{\!1/q}\\&=\operatorname {E} {\bigl [}1_{G}{\bigr ]}.\end{aligned}}}
횔더 부등식은 L.J 로저스가 1888년 에 처음 찾아내었고, 이와는 독립적으로 횔더가 1889년 에 발견하였다.
Hardy, G.H. ; J. E. Littlewood , G. & Pólya (1934). 《Inequalities》. Cambridge Univ. Press. ISBN 0521358809 Hölder, O. (1889). “Ueber einen Mittelwerthsatz”. 《Nachr. Ges. Wiss. Göttingen》: 38–47. Rogers, L J. (1888). “An extension of a certain theorem in inequalities”. 《Messenger of math》 17 : 145–150. Kuttler, Kenneth (2007). 《An introduction to linear algebra》 (PDF) . Online e-book in PDF format, Brigham Young University. 2008년 8월 7일에 원본 문서 (PDF) 에서 보존된 문서. 2008년 5월 29일에 확인함 . 
![{\displaystyle \operatorname {E} {\bigl [}|XY|{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}\leq {\bigl (}\operatorname {E} {\bigl [}|X|^{p}{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}{\bigr )}^{1/p}\,{\bigl (}\operatorname {E} {\bigl [}|Y|^{q}{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}{\bigr )}^{1/q}\qquad \mathbb {P} {\text{-almost surely.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c683cbd18886ea5e262f1fdff0911619ad05c42)
![{\displaystyle \operatorname {E} [Z|{\mathcal {G}}]=\sup _{n\in \mathbb {N} }\,\operatorname {E} [\min\{Z,n\}|{\mathcal {G}}]\quad {\text{a.s.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54a5287badef8ba43aad3859d855532ecb031d9e)
![{\displaystyle U={\bigl (}\operatorname {E} {\bigl [}|X|^{p}{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}{\bigr )}^{1/p},\qquad V={\bigl (}\operatorname {E} {\bigl [}|Y|^{q}{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}{\bigr )}^{1/q}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1515f6e915c4f0e390ac9aff82facf8e438625f)
![{\displaystyle \operatorname {E} {\bigl [}|X|^{p}1_{\{U=0\}}{\bigr ]}=\operatorname {E} {\bigl [}1_{\{U=0\}}\underbrace {\operatorname {E} {\bigl [}|X|^{p}{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}} _{=\,U^{p}}{\bigr ]}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fd1d852afc57e2efad7c3099170a727e0138362)
![{\displaystyle \operatorname {E} {\bigl [}|XY|{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}=0\qquad {\text{a.s. on }}\{U=0\}\cup \{V=0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb4842c824f8a048c698fb5dbcebf4e94fde4f1e)
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {E} {\bigl [}|XY|{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}}{UV}}\leq 1\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ee9712759bab9fed6f02cbde6f058e2ae0bb21f)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} {\biggl [}{\frac {\operatorname {E} {\bigl [}|XY|{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}}{UV}}1_{G}{\biggr ]}&=\operatorname {E} {\biggl [}\operatorname {E} {\biggl [}{\frac {|XY|}{UV}}1_{G}{\bigg |}\,{\mathcal {G}}{\biggr ]}{\biggr ]}\\&=\operatorname {E} {\biggl [}{\frac {|X|}{U}}1_{G}\cdot {\frac {|Y|}{V}}1_{G}{\biggr ]}\\&\leq {\biggl (}\operatorname {E} {\biggl [}{\frac {|X|^{p}}{U^{p}}}1_{G}{\biggr ]}{\biggr )}^{\!1/p\;}{\biggl (}\operatorname {E} {\biggl [}{\frac {|Y|^{q}}{V^{q}}}1_{G}{\biggr ]}{\biggr )}^{\!1/q}\\&={\biggl (}\operatorname {E} {\biggl [}\underbrace {\frac {\operatorname {E} {\bigl [}|X|^{p}{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}}{U^{p}}} _{=\,1{\text{ a.s. on }}G}1_{G}{\biggr ]}{\biggr )}^{\!1/p\;}{\biggl (}\operatorname {E} {\biggl [}\underbrace {\frac {\operatorname {E} {\bigl [}|Y|^{q}{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}}{V^{p}}} _{=\,1{\text{ a.s. on }}G}1_{G}{\biggr ]}{\biggr )}^{\!1/q}\\&=\operatorname {E} {\bigl [}1_{G}{\bigr ]}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4c80269fd00f1f75565a7f8a9dd1b172b3078d8)