L_∞-대수

수학에서 L_∞-대수(L_∞-algebra) 또는 호모토피 리 대수(영어: homotopy Lie algebra)는 $\mathbb {Z}$ 등급을 갖는 대수이다.^[1]^[2]^[3] 리 대수의 개념에서, 야코비 항등식이 오직 호모토피에 대하여 성립하도록 약화시킨 것이다.

정의

괄호를 통한 정의

표수 0의 체 $K$ 가 주어졌다고 하자. $K$ 위의 초벡터 공간 $V=V_{+}\oplus V_{-}$ 이 주어졌을 때, 다음을 정의하자.

\bigwedge V={\frac {\operatorname {T} (V)}{\mathfrak {I}}}

여기서 ${\mathfrak {I}}$ 는 텐서 대수 $\operatorname {T} (V)$ 의, 다음 부분 집합으로 생성되는 아이디얼이다.

{\mathfrak {I}}=\left(v_{1}\otimes v_{2}\otimes \dotsb \otimes v_{n}-(-)^{\sigma }(-)^{\sigma ,{\vec {v}}}v_{\sigma (1)}\otimes v_{\sigma (2)}\otimes \dotsb \otimes v_{\sigma (n)}\colon \sigma \in \operatorname {Sym} (n),\;v_{1},\dotsc ,v_{n}\in V_{+}\cup V_{-}\right)

여기서

$(-)^{\sigma }\in \{\pm 1\}$ 는 순열의 부호수, 즉 군 준동형 $\operatorname {Sym} (n)\to \operatorname {Sym} (2)$ 에 대한 상이다.
$(-)^{\sigma ,{\vec {v}}}\in \{\pm 1\}$ 는 $\sigma$ 가 $(v_{1},\dotsc ,v_{n})$ 에 작용할 때, $V_{-}$ 에 속하는 두 원소를 교환할 때의 수가 짝수인 경우 $+1$ , 홀수일 경우 $-1$ 이다.

물론 $\textstyle \bigwedge V$ 는 자연수 등급을 갖는다.

$K$ 위의 L_∞-대수 $A$ 는 다음과 같은 일련의 연산이 주어진, $K$ 위의 $\mathbb {Z}$ -등급 벡터 공간

A=\bigoplus _{i\in \mathbb {Z} }A^{i}

이다.

각 $n\geq 1$ 에 대하여, 등급 반대칭 $n$ 항 연산 $[-,-,\dotsc ,-]\colon \textstyle \bigwedge ^{n}V\to K$ . 그 등급은 $n-2$ 이다. (즉, 2항 괄호의 등급이 0이며, 1항 괄호는 등급 −1의 미분을 이룬다.)
$\deg[a_{1},\dotsc ,a_{n}]_{n}=n-2+\sum _{i=1}^{n}\deg a_{i}$

이는 다음과 같은 야코비 항등식을 만족시켜야 한다.

0=\sum _{i+j=n+1}\sum _{\sigma \in \operatorname {Sh} (i,n-i)}e(\sigma )(-1)^{\sigma +i(j-1)}[[a_{\sigma (1)},\dots ,a_{\sigma (i)}]_{i},a_{\sigma (i+1)},\dots ,a_{\sigma (n)}]_{j}

여기서

$\operatorname {Sh} (i,n-i)$ 는 $(i,n-i)$ -셔플 순열의 집합이다.
$e(\sigma )$ 는 순열 $\sigma$ 가 홀수 등급을 갖는 원소쌍을 서로 짝수 번 뒤바꾸었을 때 $+1$ , 홀수 번 뒤바꾸었을 때 $-1$ 이다. 이를 코쥘 부호(영어: Koszul sign)라고 한다.

미분 등급 대수를 통한 정의

만약 각 등급별 차원이 유한하다면, L_∞-대수는 다음과 같이 정의될 수도 있다.

표수 0의 체 $K$ 위의 위의 호모토피 리 대수는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

$K$ 위의 양의 정수 등급 벡터 공간 $A=\textstyle \bigoplus _{i\in \mathbb {Z} ^{+}}A_{i}$ . 이로부터 다음을 정의할 수 있다.
- $A^{*}$ 는 $A$ 의 대수적 쌍대 공간이다.
- $\operatorname {Sym} (A^{*})$ 은 등급 벡터 공간 $A^{*}$ 위의 대칭 대수이며, 이는 자연수 등급 대수를 이룬다.
$\mathrm {d} \colon \operatorname {Sym} (V^{*})\to \operatorname {Sym} (V^{*})$ 는 $\operatorname {Sym} (V^{*})$ 위의, 등급 +1의 연속 미분이다. 즉, 다음 조건들을 만족시킨다.
- $\mathrm {d}$ 는 $K$ -선형 변환이다.
- $\mathrm {d} \circ \mathrm {d} =0$
- $\mathrm {d} (ab)=(\mathrm {d} a)b+(-)^{\deg a}a\mathrm {d} b$ 이다. 여기서 $a$ 는 동차 성분이다.
- $\deg(\mathrm {d} a)=1+\deg a$ . 여기서 $a$ 는 동차 성분이다.