전사 사상
범주론에서 전사 사상(全射寫像, 영어: epimorphism)은 두 사상의 등식에서 오른쪽에서 합성되어 있을 때, 소거할 수 있는 사상이다. 단사 사상의 반대 개념이다.
정의
편집범주 의 사상 가 다음 조건을 만족시키면, 전사 사상이라고 한다.
- 임의의 대상 및 사상 에 대하여, 만약 라면 이다.
정규 전사 사상
편집영 사상을 갖는 범주 에서, 어떤 사상 의 여핵 으로 나타낼 수 있는 사상을 정규 전사 사상(영어: normal epimorphism)이라고 한다. 정규 전사 사상은 (쌍대극한이므로) 항상 전사 사상이다.
강한 전사 사상
편집범주 에서, 강한 전사 사상(強-全射寫像, 영어: strong epimorphism)은 모든 단사 사상에 대하여 왼쪽 유일 올림 성질을 만족시키는 전사 사상이다. 즉, 전사 사상 가 다음 조건을 만족시킨다면 강한 전사 사상이라고 한다.
- 임의의 가환 사각형
- 에서 가 단사 사상이라면, 다음 그림을 가환하게 하는 유일한 대각 사상 가 존재한다.
극단 전사 사상
편집범주 의 전사 사상 가 다음 조건을 만족시키면, 극단 전사 사상(極端全射寫像, 영어: extremal epimorphism)이라고 한다.
성질
편집다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
- 동형 사상 ⊆ 유효 전사 사상 ⊆ 정칙 전사 사상 ⊆ 강한 전사 사상 ⊆ 극단 전사 사상 ⊆ 전사 사상
- 동형 사상 ⊆ 분할 전사 사상 ⊆ 정칙 전사 사상 ⊆ 강한 전사 사상 ⊆ 극단 전사 사상 ⊆ 전사 사상
- 동형 사상 = 단사 사상 ∩ 극단 전사 사상 = 전사 사상 ∩ 극단 단사 사상
분할 전사 사상이 정칙 전사 사상인 이유는 분할 전사 사상 및 그 오른쪽 역사상 이 주어졌을 때 이기 때문이다.
요네다 매장
편집요네다 매장을 통하여, 전사 사상의 조건을 준층 범주에서 해석할 수 있다. 즉, 국소적으로 작은 범주 속의 사상 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
- 는 전사 사상이다.
- 임의의 대상 에 대하여, 사상 집합 사이의 함수 는 단사 함수이다.
- 쌍대 준층 토포스의 반대 범주 로 가는 요네다 매장 함자 아래서, 의 상 은 쌍대 준층 토포스 에서의 단사 사상 (즉, 쌍대 준층 토포스의 반대 범주 에서의 전사 사상)이다.
반대 범주
편집범주 의 전사 사상은 그 반대 범주 의 단사 사상이다.
예
편집구체적 범주에서, 함수로서 전사 함수인 사상은 항상 전사 사상이다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 모든 전사 사상이 전사 함수인 구체적 범주로는 다음과 같은 예를 들 수 있다.
- 집합과 함수의 범주 에서의 전사 사상은 전사 함수이다.
- 군과 군 준동형의 범주 에서의 전사 사상은 전사 군 준동형이다.
- 체 에 대하여, 위의 벡터 공간과 선형 변환들의 범주 에서의 전사 사상은 전사 선형 변환이다.
- 위상 공간과 연속 함수의 범주에서의 전사 사상은 전사 연속 함수이다.
전사 함수가 아닌 전사 사상이 존재하는 구체적 범주로는 다음과 같은 예를 들 수 있다.
- 모노이드의 범주 에서, 자연수의 덧셈 모노이드에서 정수의 덧셈 모노이드로 가는 포함 함수 는 전사 함수가 아니지만 전사 사상이다. 보다 일반적으로, 모노이드 의 군화 (망각 함자의 왼쪽 수반 함자) 가 주어졌을 때, 포함 모노이드 준동형 는 항상 전사 사상이자 단사 사상이자 단사 함수이지만, ( 이 군이 아니라면) 전사 함수가 아니다.
- 환의 범주 에서, 포함 함수 는 전사 함수가 아니지만 전사 사상이다.
- 하우스도르프 공간의 범주 에서, 전사 사상은 상이 조밀 집합인 연속 함수이다. 예를 들어, 포함 함수 는 전사 함수가 아니지만 전사 사상이다.
집합의 범주
편집(이 범주에서는 영 사상이 존재하지 않아, 정규 단사 사상을 정의할 수 없다.)
군의 범주
편집위상 공간의 범주
편집위상 공간과 연속 함수의 범주 에서는 다음이 성립한다.
(이 범주에서는 영 사상이 존재하지 않아, 정규 전사 사상을 정의할 수 없다.)
같이 보기
편집참고 문헌
편집- Mac Lane, Saunders (1998). 《Categories for the working mathematician》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 5 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-4721-8. ISBN 978-1-4419-3123-8. ISSN 0072-5285. MR 1712872. Zbl 0906.18001.
외부 링크
편집- “Epimorphism”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Normal epimorphism”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Epimorphism”. 《nLab》 (영어).
- “Strict epimorphism”. 《nLab》 (영어).
- “Strong epimorphism”. 《nLab》 (영어).
- “Extremal epimorphism”. 《nLab》 (영어).
- Yuan, Qiaochu (2012년 9월 29일). “Monomorphisms and epimorphisms”. 《Annoying Precision》 (영어). 2015년 9월 23일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 1월 4일에 확인함.
- Trimble, Todd. “Epimorphisms in the category of groups” (영어).
- Tagne, Christian Nguembou (2010년 1월 30일). “Epimorphisms in the category of groups” (영어).
- “Inclusion of natural numbers in integers is epimorphism”. 《ProofWiki》 (영어).