범주론 에서 정칙 범주 (正則範疇, 영어 : regular category )는 모든 유한 극한 을 갖고, 모든 사상을 그 치역 으로의 전사 사상 과 치역에서 공역 으로 가는 단사 사상 으로 유일하게 분해할 수 있는 범주 이다.
범주
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
f
,
g
:
X
→
Y
{\displaystyle f,g\colon X\to Y}
쌍대 동등자
coeq
{
f
,
g
}
:
Y
→
Q
{\displaystyle \operatorname {coeq} \{f,g\}\colon Y\to Q}
로 나타낼 수 있는 사상을 정칙 전사 사상 (영어 : regular epimorphism )이라고 한다. 정칙 단사 사상은 (쌍대 극한 이므로) 항상 단사 사상이다.
마찬가지로, 범주
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
f
,
g
:
X
→
Y
{\displaystyle f,g\colon X\to Y}
동등자
eq
{
f
,
g
}
:
K
→
X
{\displaystyle \operatorname {eq} \{f,g\}\colon K\to X}
로 나타낼 수 있는 사상을 정칙 단사 사상 (영어 : regular monomorphism )이라고 한다. 정칙 단사 사상은 (극한 이므로) 항상 단사 사상이다.
사상
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
당김
π
1
,
π
2
:
X
×
Y
X
→
X
{\displaystyle \pi _{1},\pi _{2}\colon X\times _{Y}X\to X}
을 가지며,
π
1
,
π
2
{\displaystyle \pi _{1},\pi _{2}}
쌍대 동등자 가
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
유효 전사 사상 (영어 : effective epimorphism )이라고 한다. 유효 전사 사상은 정의에 따라 정칙 전사 사상이다. 이와 같은 스스로와의 당김은 핵쌍 (영어 : kernel pair )이라고 하며, 대략 대수 구조 에서의 합동 관계 의 일반화로 생각할 수 있다. 즉, 유효 전사 사상은 "합동 관계 "에 대한 "몫"으로의 사영 사상으로 생각할 수 있다.
사상
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
밂
ι
1
,
ι
2
:
Y
→
Y
⊔
X
Y
{\displaystyle \iota _{1},\iota _{2}\colon Y\to Y\sqcup _{X}Y}
을 가지며,
ι
1
,
ι
2
{\displaystyle \iota _{1},\iota _{2}}
동등자 가
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
유효 단사 사상 (영어 : effective monomorphism )이라고 한다. 유효 단사 사상은 정의에 따라 정칙 단사 사상이다. 이 정의에서,
ι
1
,
ι
2
{\displaystyle \iota _{1},\iota _{2}}
동등자 는
f
{\displaystyle f}
치역 "으로 생각할 수 있다. 즉, 유효 단사 사상은 정의역 과 치역 사이의 동형을 정의하는 단사 사상으로 생각할 수 있다.
범주
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
정칙 범주 라고 한다.
유한 완비 범주 이다.임의의 사상
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
당김
←
π
1
X
X
×
Y
X
→
π
2
X
{\displaystyle {\xleftarrow {\pi _{1}}}XX\times _{Y}X{\xrightarrow {\pi _{2}}}X}
π
0
,
π
1
:
X
×
Y
X
→
X
{\displaystyle \pi _{0},\pi _{1}\colon X\times _{Y}X\to X}
쌍대 동등자 가 존재한다. 이는
f
{\displaystyle f}
핵쌍 이라고 한다.
정칙 전사 사상의 당김은 정칙 전사 사상이다. 두 정칙 범주 사이의 정칙 함자
F
:
C
→
D
{\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}
작은 정칙 범주와 정칙 함자의 범주 를
RegCat
{\displaystyle \operatorname {RegCat} }
정칙 범주
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
유효 정칙 범주 (영어 : effective regular category ) 또는 바 완전 범주 (영어 : Barr-exact category )라고 한다. (이는 퀼런 완전 범주와 관계없는 개념이다.)
임의의 대상
X
{\displaystyle X}
X
×
X
{\displaystyle X\times X}
부분 대상
r
:
Y
↪
X
×
X
{\displaystyle r\colon Y\hookrightarrow X\times X}
동치 관계 를 이룰 때,
r
{\displaystyle r}
정칙 범주
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
RegEpi
(
C
)
{\displaystyle \operatorname {RegEpi} ({\mathcal {C}})}
Mono
(
C
)
{\displaystyle \operatorname {Mono} ({\mathcal {C}})}
분해계 를 이룬다. 즉, 임의의 사상
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
f
=
m
∘
e
{\displaystyle f=m\circ e}
인 정칙 전사 사상
e
:
X
→
Y
′
{\displaystyle e\colon X\to Y'}
m
:
Y
′
→
Y
{\displaystyle m\colon Y'\to Y}
Y
{\displaystyle Y}
부분 대상
m
{\displaystyle m}
f
{\displaystyle f}
치역
임의의 범주 속의 사상에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치 이다.
(반면, 임의의 범주에서는 전사 사상 이자 단사 사상 이지만 동형 사상 이 아닌 사상이 존재할 수 있다.)
다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
동형 사상 ⊆ 유효 단사 사상 ⊆ 정칙 단사 사상 ⊆ 강한 단사 사상 ⊆ 극단 단사 사상 ⊆ 단사 사상 동형 사상 ⊆ 분할 단사 사상 ⊆ 정칙 단사 사상 ⊆ 강한 단사 사상 ⊆ 극단 단사 사상 ⊆ 단사 사상 동형 사상 ⊆ 유효 전사 사상 ⊆ 정칙 전사 사상 ⊆ 강한 전사 사상 ⊆ 극단 전사 사상 ⊆ 전사 사상 동형 사상 ⊆ 분할 전사 사상 ⊆ 정칙 전사 사상 ⊆ 강한 전사 사상 ⊆ 극단 전사 사상 ⊆ 전사 사상 분할 단사 사상 이 정칙 단사 사상인 이유는 분할 단사 사상
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
왼쪽 역사상
r
:
Y
→
X
{\displaystyle r\colon Y\to X}
f
=
eq
{
f
∘
r
,
id
Y
}
{\displaystyle f=\operatorname {eq} \{f\circ r,\operatorname {id} _{Y}\}}
분할 전사 사상 이 정칙 전사 사상인 이유는 분할 전사 사상
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
오른쪽 역사상
s
:
Y
→
X
{\displaystyle s\colon Y\to X}
f
=
eq
{
s
∘
f
,
id
X
}
{\displaystyle f=\operatorname {eq} \{s\circ f,\operatorname {id} _{X}\}}
어떤 범주에서 모든 사상
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
당김
X
×
Y
X
{\displaystyle X\times _{Y}X}
정칙 전사 사상 의 개념과 유효 전사 사상 의 개념이 일치한다. 토포스 (또는 더 일반적으로 준토포스 )에서, 다음이 성립한다.
모든 전사 사상 은 정칙 전사 사상이자 유효 전사 사상이다.
모든 단사 사상 은 정칙 단사 사상이다. 아벨 범주 에서, 모든 단사 사상 은 정칙 단사 사상이다.
정칙 범주
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
짧은 완전열 은 다음과 같은 꼴의 그림이다.
N
⇉
ι
′
ι
X
→
q
Q
{\displaystyle N{\overset {\iota }{\underset {\iota '}{\rightrightarrows }}}X{\overset {q}{\to }}Q}
여기서
{
ι
,
ι
′
}
{\displaystyle \{\iota ,\iota '\}}
q
{\displaystyle q}
만약
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
아벨 범주 라면,
N
⇉
ι
′
ι
X
→
q
Q
{\displaystyle N{\overset {\iota }{\underset {\iota '}{\rightrightarrows }}}X{\overset {q}{\to }}Q}
0
→
N
→
ι
−
ι
′
X
→
q
Q
→
0
{\displaystyle 0\to N{\overset {\iota -\iota '}{\to }}X{\overset {q}{\to }}Q\to 0}
가 (아벨 범주 의) 완전열 인 것과 동치 이다.
1차 논리 에서 정칙 공식 (영어 : regular formula )은
명제 변수
P
1
,
P
2
,
…
{\displaystyle P_{1},P_{2},\dots }
논리곱
∧
{\displaystyle \land }
존재 기호
∃
{\displaystyle \exists }
만으로 나타낼 수 있는 공식이다. 정칙 논리 는
∀
x
:
(
ϕ
(
x
)
→
ϕ
′
(
x
)
)
{\displaystyle \forall x\colon (\phi (x)\to \phi '(x))}
꼴의 명제들만을 다룰 수 있는, 1차 논리 를 약화시킨 논리이다.
정칙 범주의 내부 논리는 정칙 논리이다. 구체적으로, 정칙 범주
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
끝 대상
1
∈
C
{\displaystyle 1\in {\mathcal {C}}}
정칙 논리
정칙 범주
종류(영어 : sort )
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
X
∈
C
{\displaystyle X\in {\mathcal {C}}}
∀
(
x
:
X
)
,
(
x
′
:
X
)
:
x
=
x
′
{\displaystyle \forall (x:X),(x':X)\colon x=x'}
X
{\displaystyle X}
끝 대상
1
∈
C
{\displaystyle 1\in {\mathcal {C}}}
종류
X
{\displaystyle X}
c
{\displaystyle c}
사상
c
:
1
→
X
{\displaystyle c\colon 1\to X}
종류
X
→
Y
{\displaystyle X\to Y}
f
{\displaystyle f}
사상
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
함수의 합성
f
∘
g
{\displaystyle f\circ g}
사상의 합성
f
∘
g
{\displaystyle f\circ g}
∀
(
x
:
X
)
,
(
x
′
:
X
)
:
f
(
x
)
=
f
(
x
′
)
⟹
x
=
x
′
{\displaystyle \forall (x\colon X),(x'\colon X)\colon f(x)=f(x')\implies x=x'}
f
{\displaystyle f}
단사 사상
f
:
X
↪
Y
{\displaystyle f\colon X\hookrightarrow Y}
종류
Y
{\displaystyle Y}
술어
R
(
y
)
⟺
∃
x
∈
X
:
f
(
x
)
=
y
{\displaystyle R(y)\iff \exists x\in X\colon f(x)=y}
부분 대상
f
:
X
↪
Y
{\displaystyle f\colon X\hookrightarrow Y}
∀
(
y
:
Y
)
∃
(
x
:
X
)
:
f
(
x
)
=
y
{\displaystyle \forall (y\colon Y)\exists (x\colon X)\colon f(x)=y}
f
{\displaystyle f}
정칙 전사 사상
f
:
X
↠
Y
{\displaystyle f\colon X\twoheadrightarrow Y}
∀
(
z
,
z
′
:
X
×
Y
)
:
π
X
(
z
)
=
π
X
(
z
′
)
∧
π
Y
(
z
)
=
π
Y
(
z
′
)
⟹
z
=
z
′
{\displaystyle \forall (z,z'\colon X\times Y)\colon \pi _{X}(z)=\pi _{X}(z')\land \pi _{Y}(z)=\pi _{Y}(z')\implies z=z'}
∀
(
x
:
X
)
∀
(
y
:
Y
)
∃
(
z
:
X
×
Y
)
:
(
π
X
(
z
)
=
x
∧
π
Y
(
z
)
=
y
)
{\displaystyle \forall (x\colon X)\forall (y\colon Y)\exists (z\colon X\times Y)\colon (\pi _{X}(z)=x\land \pi _{Y}(z)=y)}
곱
X
←
π
X
X
×
Y
→
π
Y
Y
{\displaystyle X{\overset {\pi _{X}}{\leftarrow }}X\times Y{\overset {\pi _{Y}}{\to }}Y}
∀
(
x
:
X
)
:
f
(
x
)
=
g
(
x
)
⟹
∃
(
y
:
Y
)
:
h
(
y
)
=
x
{\displaystyle \forall (x\colon X)\colon f(x)=g(x)\implies \exists (y:Y)\colon h(y)=x}
동등자
h
:
Y
↪
X
⇉
g
f
Y
{\displaystyle h\colon Y\hookrightarrow X{\overset {f}{\underset {g}{\rightrightarrows }}}Y}
Barr, Michael; Grillet, Pierre A.; van Osdol, Donovan H. (1971). 《Exact categories and categories of sheaves》. Lecture Notes in Mathematics (영어) 236 . Springer-Verlag. doi :10.1007/BFb0058579 . ISSN 0075-8434 . Butz, Carsten (1998년 10월). 《Regular categories and regular logic》 . Centre for Basic Research in Computer Science Lecture Series (영어) 98–2 . ISSN 1395-2048 . Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, 편집. (2004). 《Categorical foundations: special topics in order, topology, algebra, and sheaf theory》. Encyclopedia of Mathematics and its Applications (영어) 97 . Cambridge University Press. doi :10.1017/CBO9781107340985 . ISBN 0-521-83414-7 Zbl 1034.18001 . 
