밂 (범주론)

범주론에서 밂(영어: pushout 푸시아웃^[*])은 어떤 한 쌍의 사상에 의해 결정되는, 쌍대곱의 일반화이다. 일부 범주에서는 흔히 올쌍대곱(영어: fibered coproduct)이라고 불린다.

정의

어떤 범주에서 대상 $X,Y,Z$ 및 사상

X{\xleftarrow {f}}Z{\xrightarrow {g}}Y

이 주어졌을 때, $X$ 와 $Y$ 의 밂 $X\sqcup _{Z}Y$ 는 다음과 같은 가환 그림을 만족시키는 대상 $P$ 및 사상 $p_{1},p_{2}$ 이다.

{\begin{matrix}Z&{\xrightarrow {f}}&X\\{\scriptstyle g}\downarrow &&\downarrow \scriptstyle p_{1}\\Y&{\xrightarrow[{p_{2}}]{}}&P\end{matrix}}

이는 범주론적 쌍대극한을 이루어야 한다. 즉, 다음과 같은 보편 성질을 만족시켜야 한다. 다른 모든 대상 $Q$ 및 사상 $q_{1}\colon Q\to X$ , $q_{2}\colon Q\to Y$ 에 대하여, 만약 $q_{1}\circ f=q_{2}\circ g$ 라면 다음 그림을 가환하게 만드는 유일한 사상 $u\colon P\to Q$ 가 존재한다.

{\begin{matrix}Z&{\xrightarrow {f}}&X\\{\scriptstyle g}\downarrow &&\downarrow &\searrow \\Y&\to &P&&{}^{q_{1}}\\&\searrow &&\searrow ^{\exists !u}&\downarrow \\&&{}_{q_{2}}&\to &Q\end{matrix}}

만약 $X=Y$ 이며 $f=g$ 일 경우, $X{\xleftarrow {f}}Z{\xrightarrow {f}}X$ 의 밂은 쌍대핵쌍(雙對核雙,영어: cokernel pair)이라고 한다.

성질

(유한) 쌍대곱과 쌍대동등자가 존재하는 범주에서는 당김이 존재한다. 구체적으로, 쌍대곱

X{\xrightarrow {\iota _{X}}}X\sqcup Y{\xleftarrow {\iota _{Y}}}Y

이 주어졌을 때,

X{\xleftarrow {f}}Z{\xrightarrow {g}}Y

의 밂은

Z{\xrightarrow[{\iota _{Y}\circ g}]{\iota _{X}\circ f}}X\sqcup Y

의 쌍대동등자이다. 반대로, 밂과 쌍대곱이 존재하는 범주에서는 쌍대동등자가 존재한다.

만약 $Z$ 가 끝 대상일 경우, $X\times _{Z}Y\cong X\times Y$ 이다. 즉, 끝 대상이 존재하는 경우 당김(올곱)은 곱의 일반화이다.

밂은 당김의 반대 개념이다. 즉, 범주 ${\mathcal {C}}$ 에서의 밂은 그 반대 범주 ${\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }$ 에서의 당김이며, 반대로 ${\mathcal {C}}$ 에서의 당김은 ${\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }$ 에서의 밂이다.

예

집합

집합과 함수의 범주에서,

X{\xleftarrow {f}}Z{\xrightarrow {g}}Y

의 밂은 다음과 같은 몫집합이다.

X\sqcup _{Z}Y=(X\sqcup Y)/{\sim }

x\sim y\iff \exists z\in Z\colon (x,y)=(f(z),g(z))

대수적 범주

대수 구조 다양체로 정의되는 범주의 경우는 완비 범주이자 쌍대완비 범주이므로, 밂이 항상 존재한다. 이 경우, 두 대수 구조

X{\xleftarrow {f}}Z{\xrightarrow {g}}Y

의 밂은 $X$ 와 $Y$ 의 쌍대곱에서, $Z$ 의 원소의 상들을 합치는 최소의 합동 관계에 대한 몫대수이다.

예를 들어, 군의 범주에서 밂은 융합된 자유곱라고 불린다.

위상 공간

위상 공간의 범주에서,

X{\xleftarrow {f}}Z{\xrightarrow {g}}Y

의 밂은 분리합집합 $X\sqcup Y$ 의 다음과 같은 몫공간이다.

X\sqcup _{Z}Y=(X\sqcup Y)/{\sim }

x\sim y\iff \exists z\in Z\colon (x,y)=(f(z),g(z))

특수한 경우로, 만약 $Z$ 가 한원소 공간일 경우 이는 쐐기합이라고 불린다.

같이 보기

참고 문헌

Mac Lane, Saunders (1998). 《Categories for the working mathematician》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 5 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-4721-8. ISBN 978-1-4419-3123-8. ISSN 0072-5285. MR 1712872. Zbl 0906.18001. CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

외부 링크

“Fibre product of objects in a category”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Pushout”. 《nLab》 (영어).
“Cokernel pair”. 《nLab》 (영어).