추상대수학 에서 자유곱 (自由곱, 영어 : free product )은 주어진 두 대수 구조 를 포함하는 "가장 일반적인" 대수 구조이다. 대수 구조 다양체 에서의 쌍대곱 이다. 융합된 자유곱 (融合된自由곱, 영어 : amalgamated free product )은 주어진 두 대수 구조 를 포함하되, 주어진 "공통 부분"을 이어 붙이는 가장 일반적인 대수 구조이다. 자유곱의 개념을 일반화하며, 대수 구조 다양체 에서의 밂 을 이룬다.
자유곱 은 대수 구조 다양체 에서의 쌍대곱 이다. 구체적으로, 연산
{
f
i
}
i
∈
I
{\displaystyle \{f_{i}\}_{i\in I}}
대수 구조 다양체
V
{\displaystyle {\mathcal {V}}}
대수 구조
A
,
B
∈
V
{\displaystyle A,B\in {\mathcal {V}}}
자유곱
A
∗
B
{\displaystyle A*B}
집합
A
⊔
B
{\displaystyle A\sqcup B}
F
(
A
⊔
B
)
∈
V
{\displaystyle F(A\sqcup B)\in {\mathcal {V}}}
A
{\displaystyle A}
p
(
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
)
=
p
′
(
a
1
′
,
p
2
′
,
…
,
p
n
′
′
)
{\displaystyle p(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})=p'(a'_{1},p'_{2},\dots ,p'_{n'})}
와
B
{\displaystyle B}
q
(
b
1
,
b
2
,
…
,
b
k
)
=
q
′
(
b
1
′
,
b
2
′
,
…
,
b
k
′
′
)
{\displaystyle q(b_{1},b_{2},\dots ,b_{k})=q'(b'_{1},b'_{2},\dots ,b'_{k'})}
들의 집합을
I
⊆
F
(
A
⊔
B
)
2
{\displaystyle {\mathcal {I}}\subseteq F(A\sqcup B)^{2}}
라고 하고,
I
{\displaystyle {\mathcal {I}}}
합동 관계 를
∼
⊆
F
(
A
⊔
B
)
2
{\displaystyle {\sim }\subseteq F(A\sqcup B)^{2}}
이라고 하자. 그렇다면
A
∗
B
=
F
(
A
⊔
B
)
/
∼
∈
V
{\displaystyle A*B=F(A\sqcup B)/{\sim }\in {\mathcal {V}}}
이다.
융합된 자유곱 은 대수 구조 다양체 에서의 밂 이다. 구체적으로, 연산
{
f
i
}
i
∈
I
{\displaystyle \{f_{i}\}_{i\in I}}
대수 구조 다양체
V
{\displaystyle {\mathcal {V}}}
준동형
f
:
C
→
A
{\displaystyle f\colon C\to A}
g
:
C
→
B
{\displaystyle g\colon C\to B}
의 융합된 자유곱
A
∗
C
B
{\displaystyle A*_{C}B}
A
∗
B
{\displaystyle A*B}
[
f
(
c
)
]
∼
∼
′
[
g
(
c
)
]
∼
∀
c
∈
C
{\displaystyle [f(c)]_{\sim }\sim '[g(c)]_{\sim }\qquad \forall c\in C}
를 만족하는 최소의 동치 관계 를
∼
′
⊆
(
A
∗
B
)
2
{\displaystyle \sim '\subseteq (A*B)^{2}}
라고 하자. 그렇다면,
∼
′
{\displaystyle \sim '}
합동 관계 이며,
A
∗
C
B
=
(
A
∗
B
)
/
∼
′
∈
V
{\displaystyle A*_{C}B=(A*B)/{\sim '}\in {\mathcal {V}}}
이다.
군 의 대수 구조 다양체 에서, 2차 순환군
Cyc
(
2
)
=
⟨
S
|
S
2
=
1
⟩
{\displaystyle \operatorname {Cyc} (2)=\langle S|S^{2}=1\rangle }
및 3차 순환군
Cyc
(
3
)
=
⟨
U
|
U
3
=
1
⟩
{\displaystyle \operatorname {Cyc} (3)=\langle U|U^{3}=1\rangle }
을 생각하자. 그렇다면, 두 순환군의 자유곱은 다음과 같은 모듈러 군 이다.
Cyc
(
2
)
∗
Cyc
(
3
)
=
⟨
S
,
U
|
S
2
=
U
3
=
1
⟩
{\displaystyle \operatorname {Cyc} (2)*\operatorname {Cyc} (3)=\langle S,U|S^{2}=U^{3}=1\rangle }
이 경우, 보통
S
−
1
U
=
T
{\displaystyle S^{-1}U=T}
무한 정이면체군
Dih
(
∞
)
=
⟨
r
,
s
∣
s
2
=
(
r
s
)
2
=
1
⟩
{\displaystyle \operatorname {Dih} (\infty )=\langle r,s\mid s^{2}=(rs)^{2}=1\rangle }
은 다음과 같이 자유곱으로 나타내어진다.
Dih
(
∞
)
=
Cyc
(
2
)
∗
Cyc
(
2
)
{\displaystyle \operatorname {Dih} (\infty )=\operatorname {Cyc} (2)*\operatorname {Cyc} (2)}
환의 대수 구조 다양체 에서, 환
Z
[
x
]
{\displaystyle \mathbb {Z} [x]}
Z
[
y
]
{\displaystyle \mathbb {Z} [y]}
비가환 다항식환
Z
[
x
]
∗
Z
[
y
]
=
Z
⟨
x
,
y
⟩
{\displaystyle \mathbb {Z} [x]*\mathbb {Z} [y]=\mathbb {Z} \langle x,y\rangle }
이다. 이는 텐서 대수
T
(
Z
2
)
{\displaystyle T(\mathbb {Z} ^{2})}
가환환의 자유곱은 환으로서의 자유곱의 가환화와 같다.
가환환의 대수 구조 다양체 에서, 가환환
Z
[
x
]
{\displaystyle \mathbb {Z} [x]}
Z
[
y
]
{\displaystyle \mathbb {Z} [y]}
다항식환
Z
[
x
]
∗
Z
[
y
]
=
Z
[
x
,
y
]
{\displaystyle \mathbb {Z} [x]*\mathbb {Z} [y]=\mathbb {Z} [x,y]}
이다.
아벨 군 또는 환
R
{\displaystyle R}
가군 의 경우, 유한 자유곱은 직접곱 과 일치한다. 이는 이들 범주가 아벨 범주 이기 때문이다.
집합 의 대수 구조 다양체에서 자유곱은 분리합집합
⊔
{\displaystyle \sqcup }
s
=
s
{\displaystyle s=s}
![{\displaystyle [f(c)]_{\sim }\sim '[g(c)]_{\sim }\qquad \forall c\in C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fb9b70982f8cbe98b15b8f217a56d0c46204fe8)
![{\displaystyle \mathbb {Z} [x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d4da3ac703cc7721ebba91a53f6752de7157124)
![{\displaystyle \mathbb {Z} [y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62dc143426b550e9fa6248e6a0254fb744ad6888)
![{\displaystyle \mathbb {Z} [x]*\mathbb {Z} [y]=\mathbb {Z} \langle x,y\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23933874e003ecbaebe33760a9dc2fa934b0548e)
![{\displaystyle \mathbb {Z} [x]*\mathbb {Z} [y]=\mathbb {Z} [x,y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96f9dc030ca25b08c0706eea574a729618ac866b)
