보편 성질

범주론에서 보편 성질(普遍性質, 영어: universal property)은 어떤 조건을 최적하게 만족시켜, 대상을 자동적으로 유일하게 정의하는 조건이다.

정의

함자 $F\colon {\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}$ 및 ${\mathcal {C}}$의 대상 $X\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})$가 주어졌을 때, $X$에서 $F$로 가는 시작 사상(始作寫像, 영어: initial morphism)은 쉼표 범주 $X\downarrow F$의 시작 대상 $(A,\phi )$이다. 즉, 임의의 $Y\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {D}})$ 및 사상 $f\colon X\to F(Y)$에 대하여, 다음 그림이 가환하는 유일한 사상 $g\colon A\to Y$가 존재한다.

${\begin{matrix}X&{\xrightarrow {\phi }}&F(A)\\&{\scriptstyle f}\searrow &\downarrow \scriptstyle F(g)\\&&F(Y)\end{matrix}}$

함자 $F\colon {\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}$ 및 ${\mathcal {C}}$의 대상 $X\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})$가 주어졌을 때, $F$에서 $X$로 가는 끝 사상(끝寫像, 영어: terminal morphism)은 쉼표 범주 $F\downarrow X$의 끝 대상 $(A,\phi )$이다. 즉, 임의의 $Y\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {D}})$ 및 사상 $f\colon F(Y)\to X$에 대하여, 다음 그림이 가환하는 유일한 사상 $g\colon Y\to A$가 존재한다.

${\begin{matrix}X&{\xleftarrow {\phi }}&F(A)\\&{\scriptstyle f}\nwarrow &\uparrow \scriptstyle F(g)\\&&F(Y)\end{matrix}}$

어떤 대상이 시작 사상 또는 끝 사상을 이룬다면, 이 대상이 보편 성질을 만족시킨다고 한다.

성질

보편 성질에 의하여 정의되는 대상은 자동적으로 (동형을 제외하면) 유일하다. 그러나 주어진 보편 성질을 만족시키는 대상이 존재할 필요는 없다.

같이 보기

• 극한 (범주론)

외부 링크

• “Universal property”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Universal construction”. 《nLab》 (영어).