일반 상대성 이론 과 끈 이론 에서 검은 막 (영어 : black brane 블랙 브레인[* ] )은 고차원 중력 이론에 존재하는 개체로, 블랙홀 과 같이 사건 지평선 을 가지지만 블랙홀과 달리 공간적으로 국한돼 있지 않다. 공간적으로
p
{\displaystyle p}
차원을 차지하는 검은 막을 검은 p -막 이라고 한다.
n
{\displaystyle n}
차원 민코프스키 시공간 속에서,
p
+
1
{\displaystyle p+1}
차원의 검은 막이 주어졌다고 하자. (즉,
p
=
0
{\displaystyle p=0}
은 블랙홀 이며,
p
=
1
{\displaystyle p=1}
은 검은 끈이다.) 검은 막의 세계 부피 방향의 지표는
μ
,
ν
∈
{
0
,
1
,
…
,
p
}
{\displaystyle \mu ,\nu \in \{0,1,\dotsc ,p\}}
로 표기하자. 또한, 이 검은 막이 속도
u
μ
{\displaystyle u^{\mu }}
를 갖는다고 하자 (
u
μ
u
ν
η
μ
ν
=
−
1
{\displaystyle u^{\mu }u^{\nu }\eta _{\mu \nu }=-1}
). 그렇다면, 검은
p
{\displaystyle p}
-막은 다음과 같은 좌표
(
σ
0
,
σ
1
,
…
,
σ
p
,
r
,
θ
1
,
θ
2
,
…
,
θ
n
−
p
−
2
)
{\displaystyle (\sigma ^{0},\sigma ^{1},\dotsc ,\sigma ^{p},r,\theta _{1},\theta _{2},\dotsc ,\theta _{n-p-2})}
로 주어지며, 이에 대한 리만 계량 은 다음과 같다.
d
s
2
=
(
η
μ
ν
+
(
R
/
r
)
n
−
p
−
3
u
μ
u
ν
)
d
σ
μ
d
σ
ν
+
(
1
−
(
R
/
r
)
n
−
p
−
3
)
−
1
d
r
2
+
r
2
d
Ω
n
−
p
−
2
2
{\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=\left(\eta _{\mu \nu }+(R/r)^{n-p-3}u_{\mu }u_{\nu }\right)\mathrm {d} \sigma ^{\mu }\mathrm {d} \sigma ^{\nu }+\left(1-(R/r)^{n-p-3}\right)^{-1}\,\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\mathrm {d} \Omega _{n-p-2}^{2}}
여기서
η
μ
ν
=
diag
(
−
1
,
1
,
…
,
1
)
{\displaystyle \eta _{\mu \nu }=\operatorname {diag} (-1,1,\dotsc ,1)}
은
p
+
1
{\displaystyle p+1}
차원 민코프스키 계량이다.
d
Ω
n
−
p
−
2
2
{\displaystyle \mathrm {d} \Omega _{n-p-2}^{2}}
는
(
n
−
p
−
2
)
{\displaystyle (n-p-2)}
차원 초구 의 계량이다.
R
{\displaystyle R}
는 길이의 단위를 갖는 상수이다.
질량 중심 틀에서, 속도는
u
a
u
b
=
δ
a
0
δ
b
0
{\displaystyle u_{a}u_{b}=\delta _{a0}\delta _{b0}}
이 된다. 이 경우, 계량은
d
s
2
=
−
(
1
−
(
R
/
r
)
n
−
p
−
3
)
d
t
2
+
∑
i
=
1
p
(
d
σ
i
)
2
+
(
1
−
(
R
/
r
)
n
−
p
−
3
)
−
1
d
r
2
+
r
2
d
Ω
n
−
p
−
2
2
{\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-\left(1-(R/r)^{n-p-3}\right)\,\mathrm {d} t^{2}+\sum _{i=1}^{p}(\mathrm {d} \sigma ^{i})^{2}+\left(1-(R/r)^{n-p-3}\right)^{-1}\,\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\mathrm {d} \Omega _{n-p-2}^{2}}
가 된다.
이 검은 막은
IO
(
p
,
1
)
×
O
(
n
−
p
−
1
)
{\displaystyle \operatorname {IO} (p,1)\times \operatorname {O} (n-p-1)}
대칭을 갖는다. 이 직접곱 의 첫 성분은
p
+
1
{\displaystyle p+1}
차원 푸앵카레 대칭 이며, 둘째 성분은 막을 축으로 하는 회전 대칭(직교군 )이다.
이 계량은
r
=
R
{\displaystyle r=R}
에서 사건 지평선 을 갖는다.
끈 이론 에서, 기본 끈 , D-막 , NS5-막 , M-막 등은 낮은 에너지에서 초중력 의 검은 막으로 나타난다. 이들은 AdS/CFT 대응성 을 유도할 때 중요한 역할을 한다.
11차원 초중력 의 경우, M이론 의 M2-막 과 M5-막 에 해당하는 극대 검은 2-막 및 5-막이 존재한다. 이 경우, 계량 텐서 는[ 1]
d
s
2
=
H
M
p
(
r
)
−
2
/
3
η
μ
ν
d
x
μ
d
x
ν
+
H
M
p
(
r
)
1
/
3
δ
i
j
d
y
i
d
y
j
{\displaystyle ds^{2}=H_{\mathrm {M} p}(r)^{-2/3}\eta _{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }+H_{\mathrm {M} p}(r)^{1/3}\delta _{ij}dy^{i}dy^{j}}
이다. 여기서
H
M
p
(
r
)
=
1
+
(
r
M
p
r
)
8
−
p
{\displaystyle H_{\mathrm {M} p}(r)=1+\left({\frac {r_{\mathrm {M} p}}{r}}\right)^{8-p}}
이고,
r
M
2
6
=
32
π
2
N
2
l
p
6
{\displaystyle r_{\mathrm {M} 2}^{6}=32\pi ^{2}N_{2}l_{p}^{6}}
r
M
5
3
=
π
N
5
l
p
3
{\displaystyle r_{\mathrm {M} 5}^{3}=\pi N_{5}l_{p}^{3}}
이다. 또한 게이지장은
F
4
=
d
x
0
∧
d
x
1
∧
d
x
2
∧
d
H
M
2
−
1
{\displaystyle F_{4}=dx^{0}\wedge dx^{1}\wedge dx^{2}\wedge dH_{\mathrm {M} 2}^{-1}}
(M2-막)
F
4
=
∗
(
d
x
0
∧
d
x
1
∧
d
x
2
∧
d
x
3
∧
d
x
4
∧
d
x
5
∧
d
H
M
5
−
1
)
{\displaystyle F_{4}=*(dx^{0}\wedge dx^{1}\wedge dx^{2}\wedge dx^{3}\wedge dx^{4}\wedge dx^{5}\wedge dH_{\mathrm {M} 5}^{-1})}
(M5-막)
이다. 여기서
∗
{\displaystyle *}
는 11차원의 호지 쌍대 이다.
이 부분의 본문은
D-막 입니다.
10차원 초중력 에서는 Dp -막에 해당하는 극대 검은 p -막들이 존재한다. 그 계량 텐서 는 (끈 틀(영어 : string frame )에서) 다음과 같다.
d
s
2
=
H
D
p
(
r
)
−
1
/
2
η
μ
ν
d
x
μ
d
x
ν
+
H
D
p
(
r
)
1
/
2
δ
i
j
d
y
i
d
y
j
{\displaystyle ds^{2}=H_{\mathrm {D} p}(r)^{-1/2}\eta _{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }+H_{\mathrm {D} p}(r)^{1/2}\delta _{ij}dy^{i}dy^{j}}
여기서
H
D
p
(
r
)
=
1
+
(
r
p
r
)
7
−
p
{\displaystyle H_{\mathrm {D} p}(r)=1+\left({\frac {r_{p}}{r}}\right)^{7-p}}
r
=
δ
i
j
y
i
y
j
{\displaystyle r={\sqrt {\delta _{ij}y^{i}y^{j}}}}
이고,
r
p
7
−
p
=
(
2
π
)
5
−
p
Γ
(
7
−
p
2
)
g
s
N
l
s
7
−
p
{\displaystyle r_{p}^{7-p}=(2{\sqrt {\pi }})^{5-p}\Gamma \left({\frac {7-p}{2}}\right)g_{s}Nl_{s}^{7-p}}
이다. 이 경우 딜라톤 은
exp
(
Φ
)
=
exp
(
Φ
0
)
H
D
p
(
3
−
p
)
/
4
{\displaystyle \exp(\Phi )=\exp(\Phi _{0})H_{\mathrm {D} p}^{(3-p)/4}}
이고,
Φ
0
{\displaystyle \Phi _{0}}
은
r
→
∞
{\displaystyle r\to \infty }
에서의 딜라톤 크기다. 라몽-라몽 장세기
F
p
+
2
{\displaystyle F_{p+2}}
는 다음과 같다.
F
p
+
2
=
d
H
D
p
−
1
∧
ω
p
+
1
{\displaystyle F_{p+2}=dH_{\mathrm {D} p}^{-1}\wedge \omega _{p+1}}
여기서
ω
p
+
1
=
d
x
0
∧
d
x
1
∧
⋯
∧
d
x
p
{\displaystyle \omega _{p+1}=dx^{0}\wedge dx^{1}\wedge \dots \wedge dx^{p}}
는 p -막의 세계부피 형식이다.