긴 직선

일반위상수학에서 긴 직선(긴直線, 영어: long line)은 국소적으로 유클리드 공간과 위상동형이지만 파라콤팩트 공간이 아닌 위상 공간이다.

정의

임의의 순서수 $\alpha$ 에 대하여, 곱공간 $\alpha \times \mathbb {R} _{\geq 0}$ 에 사전식 순서 및 순서 위상을 부여한 위상 공간을 $L_{\alpha }^{+}$ 라고 하자. 그렇다면, $L_{\alpha }$ 를 집합

(L_{\alpha }\setminus \{(0,0)\})\times \{+,-\}\sqcup \{0\}

에 다음과 같은 전순서 및 순서 위상을 부여한 위상 공간으로 정의하자.

(a,-)\leq (a,+)\qquad \forall a\in L_{\alpha }\setminus \{(0,0)\}

(a,-)\leq 0\qquad \forall a\in L_{\alpha }\setminus \{(0,0)\}

0\leq (a,+)\qquad \forall a\in L_{\alpha }\setminus \{(0,0)\}

(a,-)\leq (b,-)\iff a\leq _{L_{\alpha }^{+}}b\qquad \forall a,b\in L_{\alpha }\setminus \{(0,0)\}

긴 직선은 $L_{\omega _{1}}$ 이다. 여기서 $\omega _{1}$ 은 최소 비가산 순서수이다.

$L_{\alpha }$ 에 대하여, 다음이 성립한다.

$L_{0}$ 는 공집합이다.
만약 $0<\alpha <\omega _{1}$ 이라면, $L_{\alpha }\cong \mathbb {R}$ 이다.
$L_{\omega _{1}}\not \cong \mathbb {R}$ 이지만, $L_{\omega _{1}}$ 은 국소 유클리드 공간이다.
만약 $\alpha >\omega _{1}$ 이라면, $L_{\alpha }$ 는 국소 유클리드 공간이 아니다. 구체적으로, $(\omega _{1},0,+)\in L_{\alpha }$ 는 유클리드 공간과 위상동형인 근방을 갖지 않는다.

$L_{\alpha }$ 의 크기는

\max\{|\alpha |,2^{\aleph _{0}}\}

이다. 특히, 긴 직선 $L_{\omega _{1}}$ 은 실수선 $\mathbb {R}$ 와 같은 크기이다.

긴 직선 $L_{\omega _{1}}$ 은 다음 성질들을 만족시킨다.

Steen, Lynn Arthur; J. Arthur Seebach, Jr. (1978). 《Counterexamples in topology》 (영어) 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-6290-9. ISBN 978-0-387-90312-5. MR 507446. Zbl 0386.54001. CS1 관리 - 추가 문구 (링크)