사전식 순서

순서론에서 사전식 순서(辭典式順序, 영어: lexicographical order)는 여러 개의 부분 순서 집합들의 곱집합 위에 존재하는 부분순서이다. 사전에 쓰이는 가나다순이나 알파벳순의 정렬 방법은 사전식 순서의 예이다. 순서론, 전산학 등의 분야에서 사용된다.

정의

$(I,\leq )$가 정렬 집합이며, 각 $i\in I$에 대하여 $(X_{i},\leq )$가 부분 순서 집합이라고 하자. 그렇다면 곱집합

$\prod _{i\in I}X_{i}$

위의 사전식 순서는 다음과 같은 부분 순서이다.

$x\leq y\iff x=y\lor x_{\min\{j\in I\colon x_{j}\neq y_{j}\}}<y_{\min\{j\in I\colon x_{j}\neq y_{j}\}}$

만약 모든 $X_{i}$가 전순서 집합이라면, $\prod _{i\in I}X_{i}$ 또한 전순서 집합이다. 만약 모든 $X_{i}$가 정렬 집합이며 $I$가 유한 집합이라면, $\prod _{i\in I}X_{i}$ 또한 정렬 집합이다.

예

$X$가 전순서 집합이라고 하고, 이를 "알파벳 집합"이라고 하자. 또한, $X\sqcup \{\bullet \}$에

$\bullet \leq x\;\forall x\in X$

와 같은 전순서를 주자.

그렇다면 $X$의 클레이니 스타 $X^{*}$의 원소 $s\in X^{*}$는 함수 $s\colon \mathbb {Z} ^{+}\to X\sqcup \{\bullet \}$로 여길 수 있다. 이 경우 어떤 $k_{0}\in \mathbb {Z} ^{+}\cup \{0\}$에 대하여

$s(k)\in X\;\forall k\leq k_{0}$

$s(k)=\bullet \;\forall k>k_{0}$

이 되며, $k_{0}$은 $s$의 길이다. 따라서, $X^{*}$는 $(X\sqcup \{\bullet \})^{\mathbb {Z} ^{+}}$의 부분집합이다. 이 경우, $(X\sqcup \{\bullet \})^{\mathbb {Z} ^{+}}$에 사전식 순서를 부여한 뒤 이를 $X^{*}$에 국한시키면, 이는 $X^{*}$ 위의 전순서를 정의한다. 이는 사전에 쓰이는 문자열의 정렬법과 같다.

같이 보기

• 긴 직선
• 전순서 집합

외부 링크

• “Lexicographic order”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Lexicographic order”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Lexicographic order”. 《nLab》 (영어). 2014년 11월 29일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 11월 17일에 확인함.