끈 이론 에서 꼬마 끈 이론 (꼬마 끈理論, 영어 : little string theory , 약자 LST)은 NS5-막 의 적절한 극한에서의 낮은 에너지 유효 이론 이다.[ 1] [ 2] 중력 을 포함하지 않는다.
II종 초끈 이론 에서,
N
{\displaystyle N}
NS5-막 이 같은 위치에 존재한다고 하자. 이는
SO
(
1
,
5
)
×
SO
(
4
)
{\displaystyle \operatorname {SO} (1,5)\times \operatorname {SO} (4)}
로런츠 대칭 을 가지며, 16개의 초전하를 보존한다. 만약 IIA종 초끈 이론을 사용할 경우 이는 6차원
N
=
(
2
,
0
)
{\displaystyle {\mathcal {N}}=(2,0)}
N
=
(
1
,
1
)
{\displaystyle {\mathcal {N}}=(1,1)}
이제, NS5-막의 6차원 동역학을 10차원 초끈 이론으로부터 분리하기 위하여, 다음과 같은 극한을 취하자.
g
s
→
0
{\displaystyle g_{\text{s}}\to 0}
E
/
m
s
=
O
(
1
)
{\displaystyle E/m_{\text{s}}=O(1)}
즉, 끈 결합 상수 를 0으로 보내고, 에너지 눈금
E
{\displaystyle E}
이 극한에서 얻는 이론을
N
=
(
2
,
0
)
{\displaystyle {\mathcal {N}}=(2,0)}
N
=
(
1
,
1
)
{\displaystyle {\mathcal {N}}=(1,1)}
꼬마 끈 이론 이라고 한다.
꼬마 끈 이론은 다음과 같은 성질을 갖는다.
국소적이지 않으며, 끈을 갖는다.
T-이중성 이 존재한다.6차원 이하의 시공간 차원에 존재하며, 16개 이하의 초전하 (4차원
N
=
4
{\displaystyle {\mathcal {N}}=4}
끈 이론 과 마찬가지로, 높은 에너지에서 하게도른 온도 를 갖는다.끈 이론 과 달리, 중력을 포함하지 않는다.끈 이론과 달리, 질량껍질 밖의 그린 함수가 존재한다.
N
>
1
{\displaystyle N>1}
N
=
1
{\displaystyle N=1}
예를 들어, IIB 초끈 이론의
N
{\displaystyle N}
NS5-막 을 생각하자. S-이중성 을 가하면, 이는
N
{\displaystyle N}
D5-막 이 된다. 그 낮은 에너지 이론은 6차원
N
=
(
1
,
1
)
{\displaystyle {\mathcal {N}}=(1,1)}
U
(
N
)
{\displaystyle \operatorname {U} (N)}
게이지 이론 이며, 그 게이지 결합 상수
g
D5
{\displaystyle g_{\text{D5}}}
g
D5
−
2
=
m
s
2
g
s
{\displaystyle g_{\text{D5}}^{-2}={\frac {m_{\text{s}}^{2}}{g_{\text{s}}}}}
다시 S-이중성 을 가하면,
g
D5
↦
g
NS5
{\displaystyle g_{\text{D5}}\mapsto g_{\text{NS5}}}
g
s
↦
1
/
g
s
{\displaystyle g_{\text{s}}\mapsto 1/g_{\text{s}}}
m
s
↦
m
s
/
g
s
{\displaystyle m_{\text{s}}\mapsto m_{\text{s}}/g_{\text{s}}}
이므로,
g
NS5
−
2
=
m
s
2
{\displaystyle g_{\text{NS5}}^{-2}=m_{\text{s}}^{2}}
이다. 따라서,
E
∼
m
s
{\displaystyle E\sim m_{\text{s}}}
재규격화 될 수 없으므로,
E
≪
m
s
{\displaystyle E\ll m_{\text{s}}}
g
NS5
→
0
{\displaystyle g_{\text{NS5}}\to 0}
E
≃
m
s
{\displaystyle E\simeq m_{\text{s}}}
원 위에 축소화 된 IIA종 초끈 이론과 원 위에 축소화 된 IIB종 초끈 이론은 T-이중성 에 따라 서로 동치이다. T-이중성 아래 IIA NS5-막 은 IIB NS5-막 에 대응된다. 즉, 하나의 차원을 축소화 했을 때, T-이중성 에 의하여
N
=
(
2
,
0
)
{\displaystyle {\mathcal {N}}=(2,0)}
N
=
(
1
,
1
)
{\displaystyle {\mathcal {N}}=(1,1)}
동치 이다.
높은 에너지
E
{\displaystyle E}
ρ
(
E
)
∼
E
α
exp
(
β
H
E
)
(
1
+
O
(
1
/
E
)
)
{\displaystyle \rho (E)\sim E^{\alpha }\exp(\beta _{\text{H}}E)\left(1+O(1/E)\right)}
S
(
E
)
=
ln
ρ
(
E
)
=
β
H
E
+
α
ln
(
E
/
Λ
)
+
O
(
1
/
E
)
{\displaystyle S(E)=\ln \rho (E)=\beta _{\text{H}}E+\alpha \ln(E/\Lambda )+O(1/E)}
여기서
β
H
{\displaystyle \beta _{\text{H}}}
하게도른 온도 이다.
꼬마 끈 이론에 홀로그래피적으로 대응되는 10차원 중력 이론은 다음과 같다.
II종 10차원 초중력 에서,
N
{\displaystyle N}
NS5-막 에 해당하는 해는 (끈 틀 영어 : string frame 에서) 다음과 같다.
d
s
2
=
d
x
μ
d
x
μ
+
(
1
+
N
α
′
r
2
)
d
x
i
d
x
i
{\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=\mathrm {d} x_{\mu }\,\mathrm {d} x^{\mu }+\left(1+{\frac {N\alpha '}{r^{2}}}\right)\,\mathrm {d} x^{i}\,\mathrm {d} x_{i}}
exp
(
2
Φ
)
=
g
s
2
(
1
+
N
α
′
r
2
)
{\displaystyle \exp(2\Phi )=g_{\text{s}}^{2}\left(1+{\frac {N\alpha '}{r^{2}}}\right)}
H
i
j
k
=
−
ϵ
i
j
k
l
∂
l
Φ
{\displaystyle H_{ijk}=-\epsilon _{ijkl}\partial ^{l}\Phi }
여기서
μ
,
ν
,
…
∈
{
0
,
1
,
…
,
5
}
{\displaystyle \mu ,\nu ,\dotsc \in \{0,1,\dotsc ,5\}}
i
,
j
,
…
∈
{
6
,
7
,
8
,
9
}
{\displaystyle i,j,\dotsc \in \{6,7,8,9\}}
r
2
=
∑
i
=
6
9
(
x
i
)
2
{\displaystyle \textstyle r^{2}=\sum _{i=6}^{9}(x^{i})^{2}}
d
s
2
{\displaystyle \mathrm {d} s^{2}}
계량 텐서 이다.
Φ
{\displaystyle \Phi }
딜라톤 이다.
H
{\displaystyle H}
캘브-라몽 장
B
{\displaystyle B}
3차 미분 형식 이다.
α
′
{\displaystyle \alpha '}
끈 이론 레제 기울기이며,
g
s
{\displaystyle g_{\text{s}}}
결합 상수 이다.이제, 꼬마 끈 이론을 얻으려면
r
/
g
s
=
exp
σ
{\displaystyle r/g_{\text{s}}=\exp \sigma }
r
→
0
{\displaystyle r\to 0}
d
s
2
=
d
x
μ
d
x
μ
+
N
α
′
(
d
σ
2
+
d
Ω
3
2
)
{\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=\mathrm {d} x_{\mu }\,\mathrm {d} x^{\mu }+N\alpha '\left(\mathrm {d} \sigma ^{2}+\mathrm {d} \Omega _{3}^{2}\right)}
Φ
=
−
σ
{\displaystyle \Phi =-\sigma }
이다. 이 배경은
R
1
,
5
×
R
×
S
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{1,5}\times \mathbb {R} \times \mathbb {S} ^{3}}
에 해당한다. 여기서 둘째 성분
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
σ
{\displaystyle \sigma }
S
3
{\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}
N
α
′
{\displaystyle {\sqrt {N\alpha '}}}
초구 이다.
여기서, 3차원 초구 성분은 레벨
N
{\displaystyle N}
베스-추미노-위튼 모형 에 해당한다.
이 밖에도, 이 이론은 10개의 자유 페르미온
ψ
μ
{\displaystyle \psi ^{\mu }}
R
×
S
3
{\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {S} ^{3}}
즉, 이 배경의 II종 끈 이론의 끈 세계면 위의 2차원 등각 장론 의 장들은 다음과 같다.
장
SO
(
1
,
5
)
{\displaystyle \operatorname {SO} (1,5)}
SU
(
2
)
{\displaystyle \operatorname {SU} (2)}
총 중심 전하
c
{\displaystyle c}
R
1
,
5
{\displaystyle \mathbb {R} ^{1,5}}
ϕ
μ
{\displaystyle \phi ^{\mu }}
벡터
0
1×6
R
1
,
5
{\displaystyle \mathbb {R} ^{1,5}}
ψ
μ
{\displaystyle \psi ^{\mu }}
스피너
0
½×6
딜라톤
σ
{\displaystyle \sigma }
스칼라
0
1
+
6
/
N
{\displaystyle 1+6/N}
딜라티노
ψ
σ
{\displaystyle \psi _{\sigma }}
스피너
0
½
SU(2) 베스-추미노-위튼 모형 스칼라장
0
1
(
N
−
2
)
/
N
{\displaystyle (N-2)/N}
베스-추미노-위튼 모형 페르미온0
1
(
1
/
2
+
2
/
N
)
{\displaystyle (1/2+2/N)}
이에 따라, 비라소로 대수 의 총 중심 전하는 다음과 같다.
c
=
(
1
+
1
/
2
)
×
6
+
(
1
+
1
/
2
)
+
(
N
−
2
N
+
1
2
+
2
N
)
×
3
=
15
{\displaystyle c=(1+1/2)\times 6+(1+1/2)+\left({\frac {N-2}{N}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {2}{N}}\right)\times 3=15}
이는 예상대로 임계 차원 (
D
=
10
{\displaystyle D=10}
즉, IIA/B종 꼬마 끈 이론은 이와 같은 굽은 배경에서의 10차원 II(A/B)종 끈 이론과 홀로그래피적으로 쌍대이다. AdS/CFT 대응성 에서, 경계 이론(꼬마 끈 이론)의 질량껍질 밖 관측 가능량은 중력 이론(굽은 배경의 II종 끈 이론)의 질량껍질 위 관측 가능량에 대응한다. 즉, 꼬마 끈 이론의 질량껍질 밖 관측 가능량이 존재함을 알 수 있다.
이 부분의 본문은 T-이중성입니다.
