대수 구조 와 그 위의 합동 관계 가 주어졌다고 하자. 대응 정리에 따르면, 다음 두 격자는 동형이다.[10]:49, Theorem 6.20
- 몫 대수 위의 합동 관계들의 격자
- 의 합동 관계들 가운데, 에 의하여 함의되는 것들의 격자 . 이는 의 합동 관계 격자 의 부분 격자를 이룬다.
두 격자 사이의 동형 사상은 구체적으로 다음과 같이 주어진다.
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여기서 은 다음과 같은 위의 이항 관계다.
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즉, 대응 정리에 따르면, 다음 명제들이 성립한다.
- 만약 이 을 포함하는 위의 합동 관계라면, 은 위의 합동 관계이다.
- 위의 모든 합동 관계는 어떤 을 포함하는 위의 합동 관계 에 대하여 의 꼴로 나타낼 수 있다.
- 을 포함하는 위의 합동 관계 에 대하여, 다음이 성립한다.
- 가 를 함의하는 것과 는 를 함의하는 것은 서로 필요충분조건이다.
- . 여기서 는 과 로 생성되는 합동 관계이다.
- . 여기서 는 로 정의된다.
대응 정리는 모든 종류의 대수 구조에 적용할 수 있다. 군, 환, 가군 등 일부 대수 구조의 경우, 합동 관계가 특별한 부분 대수와 일대일 대응하며, 대응 정리에 등장하는 동형 사상을 몫 대수의 부분 대수에 대하여 확장할 수 있다.
군 및 정규 부분군 에 대하여, 을 포함하는 의 부분군의 격자와 몫군의 부분군들의 격자 사이의 함수
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를 생각하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
- 은 격자의 동형 사상이다. 즉,
- 임의의 에 대하여,
- 임의의 에 대하여, 인 가 존재한다.
- 임의의 에 대하여,
- 일 필요충분조건은 이다.
- . 여기서 는 로 생성된 부분군이다.
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- 일 필요충분조건은 이다.
환 및 아이디얼 에 대하여, 를 포함하는 부분군의 격자와 몫환의 부분환 격자 사이의 함수
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를 생각하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
- 는 격자의 동형 사상이다. 즉,
- 임의의 부분환 에 대하여, 는 의 부분환이다.
- 임의의 부분환 에 대하여, 인 부분환 가 존재한다.
- 임의의 부분환 에 대하여,
- 일 필요충분조건은 이다.
- . 여기서 는 로 생성된 부분환이다.
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- 가 의 아이디얼일 필요충분조건은 가 의 아이디얼인 것이다.
환 위의 왼쪽 가군 및 부분 가군 에 대하여, 을 포함하는 부분 가군의 격자와 몫 가군의 부분 가군 격자 사이의 함수
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는 격자의 동형 사상이다. 즉, 다음이 성립한다.
- 임의의 부분 가군 에 대하여, 는 의 부분 가군이다.
- 임의의 부분 가군 에 대하여, 인 부분 가군 가 존재한다.
- 임의의 부분 가군 에 대하여,
- 일 필요충분조건은 이다.
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