정규 부분군

군론에서 정규 부분군(正規部分群, 영어: normal subgroup)은 내부자기동형사상에 대해 불변인 부분군을 말한다. 정규 부분군에 대하여 몫군을 취할 수 있다.

정의

군 $G$ 의 부분군 $N\leq G$ 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분군을 $G$ 의 정규 부분군이라고 한다.

임의의 $g\in G$ 에 대하여, $gNg^{-1}\subseteq N$
임의의 $g\in G$ 에 대하여, $gNg^{-1}=N$ . 즉, 내부자기동형사상에 대하여 불변이다.
임의의 $g\in G$ 에 대하여, $gN=Ng$ . 즉, 좌잉여류와 우잉여류가 일치한다.
$\ker \phi =N$ 인 군 준동형 $\phi \colon G\to H$ 가 존재한다.
정규화 부분군이 $G$ 전체이다. 즉, $\operatorname {N} _{G}(N)=G$ 이다.
정규핵이 자기 자신이다. 즉, $\operatorname {Core} _{G}(N)=N$ 이다.

$N$ 이 $G$ 의 정규 부분군임을 다음과 같이 표기한다.

N\vartriangleleft G

성질

군 $G$ 의 부분군 $N\leq G$ 이 정규 부분군이 될 충분 조건은 다음이 있다.

$G$ 는 아벨 군이다.
$N$ 은 $G$ 의 중심이다.
$N$ 은 자명군이다.
$N=G$ 이다.
$G$ 는 유한군이며, $N$ 의 지표 $|G|/|N|$ 는 $|G|$ 의 가장 작은 소인수이다.
$G$ 는 유한군이며, $N$ 의 지표 $|G|/|N|$ 는 2이다.
$N$ 은 $G$ 의 특성 부분군이다.

증명 (지표가 최소 소인수 ⇒ 정규 부분군):

$N=\operatorname {Core} _{G}(N)$ 임을 보이는 것으로 족하다. $p$ 가 $|G|$ 의 최소 소인수라고 하자. $\operatorname {Core} _{G}(N)$ 은 군의 작용

G\to \operatorname {Sym} (G/N)

g\mapsto (g'\mapsto gg'N)\qquad (g,g'\in G)

의 핵이므로, 몫군

G/{\operatorname {Core} _{G}(N)}

은 대칭군 $\operatorname {Sym} (p)$ 의 부분군과 동형이며, 그 크기는 대칭군의 크기 $p!$ 의 약수이다. 즉, 몫군

N/{\operatorname {Core} _{G}(N)}

의 크기는 $(p-1)!$ 의 약수이다. 그러나 위 몫군의 크기는 $p$ 미만의 소인수를 가질 수 없다. 따라서 크기는 1이다.

군 $G$ 의 정규 부분군 $N\vartriangleleft G$ 가 주어졌다면, 몫군 $G/N$ 에서 $N$ 의 외부자기동형군 $\operatorname {Out} N$ 로 가는 자연스러운 군 준동형이 존재한다.

G/N\to \operatorname {Out} N=\operatorname {Aut} N/\operatorname {Inn} N

이는 다음과 같은 가환 그림에 의하여 정의된다. 여기서 길이가 5인 행 및 열은 짧은 완전열이다.

{\begin{matrix}&&1&&1&&1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\operatorname {Z} (N)&\hookrightarrow &\operatorname {C} _{G}(N)&\twoheadrightarrow &\operatorname {C} _{G}(N)/\operatorname {Z} (N)&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &N&\hookrightarrow &G&\twoheadrightarrow &G/N&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\operatorname {Inn} N&\hookrightarrow &\operatorname {Aut} N&\twoheadrightarrow &\operatorname {Out} N&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\&&1&&1&&1\end{matrix}}

여기서 준동형 $G\to \operatorname {Aut} N$ 은 $g\mapsto (n\mapsto gng^{-1})$ 이며, $N\to \operatorname {Inn} N$ 은 $n\mapsto (m\mapsto nmn^{-1})$ 이다.

특히, $N$ 이 아벨 정규 부분군일 경우, $\operatorname {Inn} N$ 이 자명군이며 $\operatorname {Out} N\cong \operatorname {Inn} N$ 이므로, 다음과 같은 자연스러운 군 준동형을 얻는다.

G/N\to \operatorname {Aut} N

gN\mapsto (n\mapsto gng^{-1})

예

유클리드 군 $\operatorname {IO} (n)=\mathbb {R} ^{n}\rtimes \operatorname {O} (n)$ 은 평행 이동의 군 $\mathbb {R} ^{n}$ 을 정규 부분군으로 갖는다. 반면, 회전군 $\operatorname {O} (n)$ 은 부분군이지만 정규 부분군이 아니다.

역사

정규 부분군의 중요성을 처음으로 인식한 사람은 에바리스트 갈루아였다.

같이 보기

참고 문헌

Dummit, David S.; Richard M. Foote (2004). 《Abstract Algebra》 (영어) 3판. Wiley. ISBN 978-0-471-43334-7. Zbl 1037.00003. CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
Lang, Serge (2002). 《Algebra》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 211 3판. Springer. doi:10.1007/978-1-4613-0041-0. ISBN 978-1-4612-6551-1. ISSN 0072-5285. MR 1878556. Zbl 0984.00001. CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

외부 링크

“Normal subgroup”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Normal subgroup”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
“Normal subgroup”. 《Groupprops》 (영어). 2015년 3월 18일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 4월 30일에 확인함.
“Nonstandard definitions of normal subgroup”. 《Groupprops》 (영어). 2015년 4월 15일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 4월 30일에 확인함.
“Abelian normal subgroup”. 《Groupprops》 (영어). 2015년 4월 15일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 4월 30일에 확인함.