중심 (대수학)

추상대수학에서 중심(中心, 미국 영어: center)은 어떤 대수 구조에서 모든 원소와 가환하는 원소들로 구성된 부분 집합이다.

정의

이항 연산 $\cdot$ 을 가진 대수 구조 $X$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $X$ 의 중심 $Z(X)$ 은 다음과 같은 부분 집합이다.

\{z\in X\colon x\cdot z=z\cdot x\forall x\in X\}

일부 대수 구조의 경우, 이는 $X$ 의 부분 대수를 이룬다.

중심의 기호는 보통 $Z$ 인데, 이는 중심을 뜻하는 독일어: Zentrum 첸트룸^[*]의 머릿글자다.

만약 이항 연산에 대한 항등원 $x\cdot 1=1\cdot x=x$ 이 존재한다면, 항등원은 항상 중심에 속한다.

1\in Z(X)

만약 이항 연산이 결합 법칙을 만족시키고, 항등원을 가지며, 어떤 원소 $z\in Z(X)$ 에 대하여 역원 $z^{-1}\cdot z=z\cdot z^{-1}=1$ 이 존재한다면, 역원 역시 중심에 속한다.

z\in Z(X)\implies z^{-1}\in Z(X)

이는 임의의 $x\in X$ 에 대하여

z^{-1}\cdot x=z^{-1}\cdot x\cdot z\cdot z^{-1}=z^{-1}\cdot z\cdot x\cdot z^{-1}=x\cdot z^{-1}

이기 때문이다. 그러나 이는 결합 법칙 없이는 성립하지 않는다.

군 $G$ 의 중심 $Z(G)$ 는 $G$ 의 아벨 부분군이며, 특히 정규 부분군이다. 아벨 군의 경우, $Z(G)=G$ 이다.

모노이드 $(M,\cdot )$ 의 중심 $Z(M)$ 은 항상 부분 모노이드를 이룬다. 가환 모노이드의 경우, $Z(M)=M$ 이다.

유사환 $(R,+,\cdot )$ 의 중심은 곱셈 $\cdot$ 에 대한 중심이다. (덧셈에 대한 중심은 자명하다.) 이는 항상 부분 유사환을 이루며, $R$ 는 $Z(R)$ 위의 결합 대수를 이룬다.

환 $(R,+,\cdot )$ 의 중심은 유사환으로서의 중심과 같다. 이는 항상 부분환을 이루며, $R$ 는 $Z(R)$ 위의 단위 결합 대수를 이룬다. 환의 중심은 일반적으로 아이디얼을 이루지 않는다.

나눗셈환 $D$ 의 중심 $Z(D)$ 은 체를 이루며, $D$ 는 그 위의 단위 결합 대수를 이룬다.

대표적인 군의 중심은 다음과 같다.

군	중심
사원수군 $Q_{8}$	$\{+1,-1\}$
대칭군 $\operatorname {Sym} (n)$ ( $n\geq 3$ )	자명군
교대군 $\operatorname {Alt} (n)$ ( $n\geq 4$ )	자명군
일반선형군 $\operatorname {GL} (n;K)$	$\{aI_{n\times n}\colon a\in K\setminus \{0\}\}$
직교군 $\operatorname {O} (n;K)$	$\{\pm I_{n\times n}\}$

사원수의 나눗셈환 $\mathbb {H}$ 의 중심은 실수체 $\mathbb {R}$ 이며, 사원수환은 그 위의 4차원 단위 결합 대수를 이룬다.

행렬환 $\operatorname {Mat} (n;K)$ 의 중심은 스칼라 행렬

Z(\operatorname {Mat} (n;K))=\{aI_{n\times n}\colon a\in K\}\cong K

이다. 행렬환은 이에 따라 $K$ 위의 단위 결합 대수를 이룬다.

“Centre of a group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Centre of a ring”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Group center”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.