결합 대수

(단위 결합 대수에서 넘어옴)

추상대수학에서 결합 대수(結合代數, 영어: associative algebra)는 결합 법칙을 만족시키는 대수이다. 즉, 가군유사환의 구조를 동시에 갖춘 대수 구조이다. 가군아벨 군을 일반화하는 것처럼, 단위 결합 대수는 을 일반화한다.

정의

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유사 결합 대수

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가환 유사환   위의 유사 결합 대수(영어: (possibly) non-unital associative algebra)  는 다음과 같은 데이터로 구성된 대수 구조이다.

  •   가군을 이룬다.
  •  유사환을 이룬다.

이는 다음과 같은 추가 공리를 만족시켜야 한다.

  • 모든   에 대하여,  

이는 유사환의 준동형  과 같다. 여기서   중심이다.

유사 결합 대수의 준동형 를 보존시키는 함수이다. 즉, 가군의 준동형이자 유사환의 준동형을 이루는 함수이다. 유사 결합 대수와 유사 대수 준동형의 범주를  이라고 하자.

결합 대수

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가환환   위의 (단위) 결합 대수(單位結合代數, 영어: (unital) associative algebra)  는 다음과 같은 데이터로 구성된 대수 구조이다.

  •    위의 유사 결합 대수를 이룬다.
  •  을 이룬다.

이는 환 준동형  과 같다. 여기서   중심이다.

결합 대수의 준동형 를 보존시키는 함수이다. 즉, 가군의 준동형이자 환 준동형을 이루는 함수이다. 이들은 유사 결합 대수의 준동형 가운데, 단위원을 추가로 보존하는 것들이다. 결합 대수와 결합 대수 준동형의 범주를  이라고 하자.

가환 대수

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가환환   위의 결합 대수 가운데, 가환환인 것을 가환 대수(영어: commutative algebra)라고 한다.   위의 단위 가환 대수  은 가환환 준동형  과 같다.

성질

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결합 대수의 모임과 유사 결합 대수의 모임 둘 다 대수 구조 다양체를 이루며, 이에 따라 곱 · 쌍대곱 · 시작 대상 · 끝 대상의 존재를 알 수 있다.

구조 유사 결합 대수 결합 대수
시작 대상 영가군  
끝 대상 영가군 영가군
유사환으로서의 곱 (유사)환으로서의 곱
쌍대곱 결합 대수의 자유곱 단위 결합 대수의 자유곱

즉, 유사 결합 대수의 범주는 영 대상을 가지지만, 결합 대수의 경우는 시작 대상끝 대상이 서로 다르다. 두 범주에서 곱은 서로 같으며, 곱집합과 호환되지만, 쌍대곱은 서로 다르다.

또한, (유사) 결합 대수의 범주에는 텐서곱  이 존재하며, 이는   위의 가군텐서곱과 같다. 이에 따라 결합 대수의 범주는 대칭 모노이드 범주를 이룬다.

망각 함자

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유사 결합 대수의 범주에서 유사환의 범주로 가는 망각 함자

 

및 결합 대수의 범주에서 환의 범주로 가는 망각 함자

 

가 존재한다. 후자의 왼쪽 수반 함자 이다.

또한, 결합 대수의 범주에서 유사 결합 대수의 범주로 가는 망각 함자

 

가 존재한다. 이 함자의 왼쪽 수반 함자는 단위원이 없는 유사 결합 대수  

 

로 대응시킨다 ( 아벨 군직합). 이 경우,   위의 연산은 다음과 같다.

 
 

분류

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복소수체 위의 5차원 이하의 (유사) 결합 대수는 모두 완전히 분류되었다.[1]

3차원 이하 복소수 결합 대수

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  위의 1차원 결합 대수는   자체 밖에 없다.   위의 2차원 단위 결합 대수는 두 개가 있으며, 다음과 같다.

 
 

둘 다 가환 대수이므로, 대수기하학적으로 해석할 수 있다. 대수기하학적으로, 전자는 두 개의 닫힌 점  으로 구성되어 있으며, 후자는 (축소환이 아니므로) 원점을 닫힌 점으로 하는 비축소 스킴이다. 이 둘은 각각 1차원 복소수 벡터 공간 위의 비퇴화 이차 형식 · 퇴화 이차 형식에 대한 클리퍼드 대수이다.

  위의 3차원 결합 대수는 다섯 개가 있으며, 다음과 같다.

 
 
 
 
 

이 가운데 처음 네 개는 가환 대수이며, 마지막 하나는 비가환 대수이다.

환론

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특별한 가환환 위의 (유사) 결합 대수는 다음과 같은 특별한 이름이 있다.

가환환     위의 유사 결합 대수   위의 결합 대수
정수환   유사환
  표수 의 약수인 유사환 ( ) 표수 의 약수인 환

모든  는 스스로의 중심  에 대한 결합 대수를 이룬다. 또한, 임의의 가환환  에 대하여 환 준동형  가 주어졌다면,    위의 결합 대수를 이룬다. 특히, 가환환의 준동형  가 주어졌다면,    위의 가환 결합 대수를 이룬다.

추가 구조를 갖는 대수

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리 대수보편 포락 대수는 결합 대수이다. 마찬가지로, 클리퍼드 대수외대수는 결합 대수이다.

복소수체  사원수 대수  는 실수 위의 결합 대수이다. 복소수체에서 사원수 대수로 가는 포함 관계  를 잡으면, 사원수 대수는 복소수체 위의 결합 대수를 이룬다.

함수 대수

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 위상환이라고 하자. 위상 공간   위의 연속 함수  의 집합은 자연스럽게   위의 결합 대수의 구조가 존재한다.

 
 
 
 

마찬가지로, 매끄러운 다양체   위의 매끄러운 함수의 집합  은 실수체 위의 결합 대수의 구조를 가진다.

각주

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  1. Rakhimov, I. S.; Rikhsiboev, I. M.; Basri, W. “Complete lists of low dimensional complex associative algebras” (영어). arXiv:0910.0932. Bibcode:2009arXiv0910.0932R. 

외부 링크

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같이 보기

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