다음이 주어졌다고 하자.
가환환
K
{\displaystyle K}
K
{\displaystyle K}
결합 대수
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
C
{\displaystyle C}
(
A
,
B
)
{\displaystyle (A,B)}
쌍가군 (=
A
⊗
K
B
op
{\displaystyle A\otimes _{K}B^{\operatorname {op} }}
왼쪽 가군 )
A
M
B
{\displaystyle _{A}M_{B}}
(
B
,
C
)
{\displaystyle (B,C)}
쌍가군 (=
B
⊗
K
C
op
{\displaystyle B\otimes _{K}C^{\operatorname {op} }}
왼쪽 가군 )
B
N
C
{\displaystyle _{B}N_{C}}
그렇다면,
M
{\displaystyle M}
N
{\displaystyle N}
텐서곱 은 다음과 같이 구성되는
(
A
,
C
)
{\displaystyle (A,C)}
쌍가군 이다.
곱집합
M
×
N
{\displaystyle M\times N}
자유
(
A
,
C
)
{\displaystyle (A,C)}
쌍가군
A
X
C
{\displaystyle _{A}X_{C}}
X
{\displaystyle X}
이항 관계
∼
0
{\displaystyle \sim _{0}}
동치 관계
∼
{\displaystyle \sim }
(
m
,
n
)
+
(
m
′
,
n
)
∼
0
(
m
+
m
′
,
n
)
(
m
,
m
′
∈
M
,
n
∈
N
)
{\displaystyle (m,n)+(m',n)\sim _{0}(m+m',n)\qquad (m,m'\in M,\;n\in N)}
(
m
,
n
)
+
(
m
,
n
′
)
∼
0
(
m
,
n
+
n
′
)
(
m
∈
M
,
n
,
n
′
∈
N
)
{\displaystyle (m,n)+(m,n')\sim _{0}(m,n+n')\qquad (m\in M,\;n,n'\in N)}
a
(
m
,
n
)
∼
0
(
a
m
,
n
)
(
m
∈
M
,
n
∈
N
,
a
∈
A
)
{\displaystyle a(m,n)\sim _{0}(am,n)\qquad (m\in M,\;n\in N,\;a\in A)}
(
m
,
n
)
c
∼
0
(
m
,
n
c
)
(
m
∈
M
,
n
∈
N
,
c
∈
C
)
{\displaystyle (m,n)c\sim _{0}(m,nc)\qquad (m\in M,\;n\in N,\;c\in C)}
(
m
b
,
n
)
∼
0
(
m
,
b
n
)
(
m
∈
M
,
n
∈
N
,
b
∈
B
)
{\displaystyle (mb,n)\sim _{0}(m,bn)\qquad (m\in M,\;n\in N,\;b\in B)}
이 동치 관계 는
(
A
,
C
)
{\displaystyle (A,C)}
쌍가군 의 합동 관계 임을 보일 수 있다. 따라서
X
/
∼
{\displaystyle X/{\sim }}
(
A
,
C
)
{\displaystyle (A,C)}
쌍가군 이며, 이를 텐서곱
M
⊗
B
N
{\displaystyle M\otimes _{B}N}
다음과 같은 특수한 경우들을 생각할 수 있다.
만약
K
=
A
=
C
=
Z
{\displaystyle K=A=C=\mathbb {Z} }
M
B
{\displaystyle M_{B}}
B
{\displaystyle B}
오른쪽 가군 이며,
B
N
{\displaystyle B_{N}}
B
{\displaystyle B}
왼쪽 가군 이다. 이 경우,
B
{\displaystyle B}
오른쪽 가군 과
B
{\displaystyle B}
왼쪽 가군 의 텐서곱은 아벨 군 (=
(
Z
,
Z
)
{\displaystyle (\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} )}
쌍가군 )이다.
만약
K
=
A
=
B
=
C
{\displaystyle K=A=B=C}
M
{\displaystyle M}
N
{\displaystyle N}
K
{\displaystyle K}
가군 이다. 이 경우, 두
K
{\displaystyle K}
가군 의 텐서곱은
K
{\displaystyle K}
가군 이다.
특히, 만약
K
{\displaystyle K}
체 일 때, 두
K
{\displaystyle K}
벡터 공간 의 텐서곱은
K
{\displaystyle K}
벡터 공간 이다.
특히, 만약
K
=
Z
{\displaystyle K=\mathbb {Z} }
아벨 군 의 텐서곱은 아벨 군 이다.
만약
K
=
B
{\displaystyle K=B}
체 이며,
G
{\displaystyle G}
H
{\displaystyle H}
군 이며,
A
=
K
[
G
]
{\displaystyle A=K[G]}
C
op
=
K
[
H
]
{\displaystyle C^{\operatorname {op} }=K[H]}
K
{\displaystyle K}
군환 )이라고 하자. 그렇다면,
M
{\displaystyle M}
N
{\displaystyle N}
G
{\displaystyle G}
H
{\displaystyle H}
표현 이며, 이 경우
M
⊗
K
N
{\displaystyle M\otimes _{K}N}
A
⊗
K
C
op
=
K
[
G
×
H
]
{\displaystyle A\otimes _{K}C^{\operatorname {op} }=K[G\times H]}
왼쪽 가군 을 이룬다. 즉,
M
⊗
K
N
{\displaystyle M\otimes _{K}N}
직접곱
G
×
H
{\displaystyle G\times H}
표현 을 갖는다. 이를 두 군 표현 의 외부 텐서곱 (영어 : external tensor product )이라고 한다.
특히, 위의 경우에서 만약
G
=
H
{\displaystyle G=H}
대각 사상
G
→
G
×
G
{\displaystyle G\to G\times G}
M
⊗
K
N
{\displaystyle M\otimes _{K}N}
G
{\displaystyle G}
표현 을 이룬다. 이를 두 군 표현 의 텐서곱 이라고 한다. 다음이 주어졌다고 하자.
가환환
K
{\displaystyle K}
K
{\displaystyle K}
결합 대수
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
그렇다면,
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
K
{\displaystyle K}
가군 이므로, 텐서곱
A
⊗
K
B
{\displaystyle A\otimes _{K}B}
K
{\displaystyle K}
가군 을 이룬다. 그런데, 이 경우
A
⊗
K
B
{\displaystyle A\otimes _{K}B}
K
{\displaystyle K}
결합 대수 의 구조를 가지며, 이는 다음과 같다.
(
a
⊗
K
b
)
(
a
′
⊗
K
b
′
)
=
(
a
a
′
)
⊗
K
(
b
b
′
)
{\displaystyle (a\otimes _{K}b)(a'\otimes _{K}b')=(aa')\otimes _{K}(bb')}
이에 따라,
K
{\displaystyle K}
결합 대수 의 범주는 대칭 모노이드 범주 가 된다.
가환환
K
{\displaystyle K}
가군 의 범주
Mod
K
{\displaystyle \operatorname {Mod} _{K}}
대칭 모노이드 범주 를 이룬다. 특히,
텐서곱은 결합 법칙 을 따른다.
텐서곱의 항등원은 1차원 자유 가군
K
{\displaystyle K}
또한,
Mod
K
{\displaystyle \operatorname {Mod} _{K}}
닫힌 모노이드 범주 이다. 다시 말해, 임의의
K
{\displaystyle K}
M
{\displaystyle M}
N
{\displaystyle N}
P
{\displaystyle P}
hom
K
(
M
⊗
N
,
P
)
≅
hom
K
(
M
,
hom
K
(
N
,
P
)
)
{\displaystyle \hom _{K}(M\otimes N,P)\cong \hom _{K}(M,\hom _{K}(N,P))}
텐서곱 함자의 유도 함자 를 Tor 함자
![{\displaystyle A=K[G]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae734bedd20fbcf48ead59ce218fd76dab34dc21)
![{\displaystyle C^{\operatorname {op} }=K[H]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/082d961681b069ce3be357feb4610a835f2bc305)
![{\displaystyle A\otimes _{K}C^{\operatorname {op} }=K[G\times H]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c9a6534ee4488840cb910db2f0c020f4130b9a3)
이 부분의 본문은 Tor 함자입니다.
