쌍가군

환론에서 쌍가군(雙加群, 영어: bimodule 바이모듈^[*])은 왼쪽 가군과 오른쪽 가군의 구조를 동시에 가지며, 두 구조가 서로 결합 법칙을 만족시키는 대수 구조이다.

정의

환 $R$와 $S$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $(R,S)$-쌍가군(영어: $(R,S)$-bimodule) $_{R}M_{S}$은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 아벨 군 $(M,+)$
• $M$ 위의 $R$-왼쪽 가군 구조 $_{R}M$
• $M$ 위의 $S$-오른쪽 가군 구조 $M_{S}$

이는 다음과 같은 호환 조건을 만족시켜야 한다.

• 모든 $r\in R$, $s\in S$, $m\in M$에 대하여, $(rm)s=r(ms)$

보다 일반적으로, 가환환 $K$와 $K$-단위 결합 대수 $R$와 $S$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $(K;R,S)$-쌍가군 $_{R}M_{S}$은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 아벨 군 $(M,+)$
• $M$ 위의 $R$-왼쪽 가군 구조 $_{R}M$
• $M$ 위의 $S$-오른쪽 가군 구조 $M_{S}$

이는 다음과 같은 호환 조건을 만족시켜야 한다.

• 모든 $r\in R$, $s\in S$, $m\in M$에 대하여, $(rm)s=r(ms)$
• 모든 $k\in K$에 대하여, $km=mk$

$(R,S)$-쌍가군은 $K=\mathbb {Z}$일 때 $(\mathbb {Z} ;R,S)$-쌍가군의 개념과 같다.

두 $(K;R,S)$-쌍가군 $_{R}M_{S}$, $_{R}N_{S}$ 사이의 쌍가군 준동형(영어: bimodule homomorphism) $\phi \colon M\to N$은 다음 조건들을 만족시키는 아벨 군 준동형이다.

• $\phi$는 $R$-왼쪽 가군의 가군 준동형을 이룬다. 즉, $r\phi (m)=\phi (rm)\;\forall r\in R,\;m\in M$이다.
• $\phi$는 $S$-오른쪽 가군의 가군 준동형을 이룬다. 즉, $\phi (m)s=\phi (ms)\;\forall s\in S,\;m\in M$이다.

성질

가군과의 관계

다음 네 개념들이 서로 동치이다.

• $(K;R,S)$-쌍가군
• $(K;S^{\operatorname {op} },R^{\operatorname {op} })$-쌍가군
• $R\otimes _{K}S^{\operatorname {op} }$-왼쪽 가군
• $R^{\operatorname {op} }\otimes _{K}S$-오른쪽 가군

(여기서 $(-)^{\operatorname {op} }$는 반대환을 뜻한다.)

다음 세 개념들이 서로 동치이다.

• 아벨 군
• $\mathbb {Z}$-가군
• $(\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} )$-쌍가군

환 $R$에 대하여, 다음 네 개념들이 서로 동치이다.

• $R$-왼쪽 가군
• $R^{\operatorname {op} }$-오른쪽 가군
• $(R,\mathbb {Z} )$-쌍가군
• $(\mathbb {Z} ,R^{\operatorname {op} })$-쌍가군

환 $R$에 대하여, 다음 네 개념들이 서로 동치이다.

• $R$-오른쪽 가군
• $R^{\operatorname {op} }$-왼쪽 가군
• $(\mathbb {Z} ,R)$-쌍가군
• $(R^{\operatorname {op} },\mathbb {Z} )$-쌍가군

가환환 $R$에 대하여, 다음 네 개념들이 서로 동치이다.

• $R$-가군
• $(R;R,R)$-쌍가군
• $(\mathbb {Z} ,R)$-쌍가군
• $(R,\mathbb {Z} )$-쌍가군

또한, 위 개념들에 대한 준동형들 또한 서로 동치이다. 예를 들어, $(K;R,S)$-쌍가군 준동형은 $R\otimes _{K}S^{\operatorname {op} }$-왼쪽 가군의 가군 준동형과 같은 개념이다.

즉, 쌍가군의 개념은 가군의 개념의 특수한 경우로 생각할 수 있으며, 반대로 가군의 개념을 쌍가군의 개념의 특수한 경우로 생각할 수 있다.

가환환 $R$에 대하여, 모든 $R$-가군 (즉, $(R;R,R)$-쌍가군)은 망각을 통하여 $(\mathbb {Z} ;R,R)$-쌍가군을 이루지만, 일반적으로 $(R;R,R)$-쌍가군이 아닌 $(\mathbb {Z} ;R,R)$-쌍가군이 존재한다.

텐서곱 가군과 준동형 가군

$(R,S)$-쌍가군 $_{R}M_{S}$ 및 $(S,T)$-쌍가군 $_{S}N_{T}$이 주어졌을 때, 텐서곱

$_{R}M\otimes _{S}N_{T}$

은 자연스럽게 $(R,T)$-쌍가군을 이룬다. 이는 쌍가군 범주의 가법 함자

$(_{R}M\otimes _{S}-)\colon {}_{S}\operatorname {Mod} _{T}\to {}_{R}\operatorname {Mod} _{T}$

$(-\otimes _{S}N_{T})\colon {}_{R}\operatorname {Mod} _{S}\to {}_{R}\operatorname {Mod} _{T}$

를 정의한다.

또한, $(R,S)$-쌍가군 $_{R}M_{S}$ 및 $(R,T)$-쌍가군 $_{R}N_{T}$가 주어졌을 때, 왼쪽 가군 준동형군

$\hom _{_{R}\operatorname {Mod} }(_{R}M_{S},{}_{R}N_{T})$

은

$(sft)(m)=\left(f(ms)\right)t\qquad \forall s\in S,\;t\in T,\;m\in M,\;f\in \hom _{_{R}\operatorname {Mod} }(_{R}M_{S},{}_{R}N_{T})$

를 통해 $(S,T)$-쌍가군을 이룬다. 이는 쌍가군 범주의 가법 함자

$\hom _{R}(_{R}M_{S},-)\colon {}_{R}\operatorname {Mod} _{T}\to {}_{S}\operatorname {Mod} _{T}$

$\hom _{R}(-,{}_{R}N_{T})\colon {}_{R}\operatorname {Mod} _{S}\to {}_{S}\operatorname {Mod} _{T}^{\operatorname {op} }$

를 정의한다. 반대로, 오른쪽 가군 준동형을 사용한다면 $(R,S)$-쌍가군 $_{R}M_{S}$ 및 $(T,S)$-쌍가군 $_{T}N_{S}$가 주어졌을 때, 준동형군

$\hom _{\operatorname {Mod} _{S}}(_{R}M_{S},{}_{T}N_{S})$

은

$(tfr)(m)=t\left(f(rm)\right)\qquad \forall r\in R,\;t\in T,\;m\in M,\;f\in \hom _{\operatorname {Mod} _{S}}(_{R}M_{S},{}_{T}N_{S})$

를 통해 $(T,R)$쌍가군을 이루며, 쌍가군 범주의 가법 함자

$\hom _{S}(_{R}M_{S},-)\colon {}_{T}\operatorname {Mod} _{S}\to {}_{T}\operatorname {Mod} _{R}$

$\hom _{S}(-,{}_{T}N_{S})\colon {}_{R}\operatorname {Mod} _{S}\to {}_{T}\operatorname {Mod} _{R}^{\operatorname {op} }$

를 정의한다.

이는 다음과 같이 수반 함자를 이룬다.

$(_{R}M\otimes _{S}-)\dashv \hom _{R}(_{R}M_{S},-)$

$(-\otimes _{R}M_{S})\dashv \hom _{S}(_{R}M_{S},-)$

특히, $T=\mathbb {Z}$ 또는 $R=\mathbb {Z}$ 또는 $S=\mathbb {Z}$를 놓으면 각종 가군 범주 위의 다음과 같은 가법 함자들을 얻는다.

$(_{R}M\otimes _{S}-)\colon {}_{S}\operatorname {Mod} \to {}_{R}\operatorname {Mod}$

$(-\otimes _{R}M_{S})\colon \operatorname {Mod} _{R}\to \operatorname {Mod} _{S}$

$\hom _{R}(_{R}M_{S},-)\colon {}_{R}\operatorname {Mod} \to {}_{S}\operatorname {Mod}$

$\hom _{R}(-,{}_{R}M_{S})\colon {}_{R}\operatorname {Mod} \to \operatorname {Mod} _{S}^{\operatorname {op} }$

$\hom _{S}(_{R}M_{S},-)\colon \operatorname {Mod} _{S}\to \operatorname {Mod} _{R}$

$\hom _{S}(-,{}_{R}M_{S})\colon \operatorname {Mod} _{S}\to {}_{R}\operatorname {Mod} ^{\operatorname {op} }$

$(_{R}M\otimes _{S})\dashv \hom _{R}(_{R}M_{S},-)$

$(-\otimes _{R}M_{S})\dashv \hom _{S}(_{R}M_{S},-)$

쌍가군의 2-범주

임의의 가환환 $K$와 $K$-단위 결합 대수 $R$, $S$에 대하여, $(K;R,S)$-쌍가군을 대상으로 하고, $(K;R,S)$-쌍가군 준동형을 사상으로 하는 범주 $_{R}K{\text{-uAssocAlg}}_{S}$가 존재한다. $K=\mathbb {Z}$인 경우 이는 단순히 $_{R}\operatorname {Mod} _{S}$로 표기한다.

보다 일반적으로, 가환환 $K$에 대하여 다음과 같은 2-범주 $\operatorname {Bimod} _{K}$가 존재한다.

• $\operatorname {Bimod} _{K}$의 대상은 $K$-단위 결합 대수이다. (즉, $K{\text{-uAssocAlg}}$의 대상과 같다.)
• $\operatorname {Bimod} _{K}$에서, 단위 결합 대수 $R$, $S$ 사이의 1-사상은 $(K;R,S)$-쌍가군 $_{R}M_{S}$이다. $_{R}M_{S}$의 정의역은 $R$, 공역은 $S$이다.
  • 두 쌍가군 $_{R}M_{S}$, $_{S}N_{T}$의 합성은 쌍가군의 텐서곱 $_{R}M\otimes _{S}N_{T}$이다.
  • 환 $R$ 위의 항등 사상은 $_{R}R_{R}$이다.
• 같은 정의역과 공역을 갖는 두 1-사상 $_{R}M_{S}$, $_{R}N_{S}$ 사이의 2-사상은 $(K;R,S)$-쌍가군 준동형이다. 즉, 범주로서 $\hom _{\operatorname {Bimod} }(R,S)={}_{R}K{\text{-uAssocAlg}}_{S}$이다.

예

아이디얼

환 $R$의 왼쪽 아이디얼은 $R$-왼쪽 가군을 이루며, 오른쪽 아이디얼은 $R$-오른쪽 가군을 이룬다. $R$의 양쪽 아이디얼 ${\mathfrak {a}}\subseteq R$은 $(R,R)$-쌍가군을 이룬다.

특히, $R$ 전체는 $R$의 양쪽 아이디얼이며, 따라서 $(R,R)$-쌍가군을 이룬다.

보다 일반적으로, 가환환 $K$ 위의 단위 결합 대수 $R$가 주어졌을 때, $K$-가군을 이루는 $R$-양쪽 아이디얼 ${\mathfrak {a}}\subseteq R$는 $(K;R,R)$-쌍가군을 이룬다. 특히, $R$ 전체는 $(K;R,R)$-쌍가군을 이룬다.

부분환

$(R,S)$-쌍가군 $_{R}M_{S}$ 및 $R$의 부분환 ${\tilde {R}}\subseteq R$와 $S$의 부분환 ${\tilde {S}}\subseteq S$가 주어졌을 때, $M$은 망각을 통해 자연스럽게 $_{\tilde {R}}M_{\tilde {S}}$-쌍가군을 이룬다.

특히, 환 $R$의 부분환 ${\tilde {R}}\subseteq R$가 주어졌을 때, 쌍가군 $_{R}R_{R}$에 망각을 가하여 쌍가군 $_{\tilde {R}}R_{R}$ 및 $_{R}R_{\tilde {R}}$ 및 $_{\tilde {R}}R_{\tilde {R}}$를 정의할 수 있다.

가군의 자기 사상

환 $R$ 위의 오른쪽 가군 $M_{R}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $\operatorname {Mod} _{R}$는 가법 범주이므로 $M_{R}$의 자기 사상 집합 $\operatorname {End} _{\operatorname {Mod} _{R}}(M_{R})=\hom _{\operatorname {Mod} _{R}}(M_{R},M_{R})$는 환을 이룬다. 이 자기 사상환은 $M_{R}$의 왼쪽에 자연스럽게 작용하며, 따라서 $M_{R}$는 $(\operatorname {End} M,R)$-쌍가군을 이룬다.

마찬가지로, $R$ 위의 왼쪽 가군 $_{R}M$은 자연스럽게 $\left(R,(\operatorname {End} M)^{\operatorname {op} }\right)$-쌍가군을 이룬다.

이 구성은 모리타 동치의 정의에 등장한다.

행렬 쌍가군

환 $R$ 위의 $m\times n$ 행렬로 구성된 아벨 군 $\operatorname {Mat} (m,n;R)$을 생각하자. 만약 $m=n$이라면 (즉, 정사각 행렬이라면) $\operatorname {Mat} (n,n;R)=\operatorname {Mat} (n;R)$는 환을 이룬다.

행렬의 곱셈은 자연스러운 $R$-쌍선형 함수 $\operatorname {Mat} (m,n;R)\otimes _{R}\operatorname {Mat} (n,p;R)\to \operatorname {Mat} (m,p;R)$ 를 이룬다. 이에 따라, $\operatorname {Mat} (m,n;R)$는 자연스럽게 $(\operatorname {Mat} (m;R),\operatorname {Mat} (n;R))$-쌍가군을 이룬다.

물론, $R$는 (대각 행렬로서) $\operatorname {Mat} (n;R)$의 부분환을 이룬다. 이에 따라, $\operatorname {Mat} (m,n;R)$는 $(R,R)$-쌍가군을 이룬다. 이 경우, $\operatorname {Mat} (m,n;R)$는 단순히 자유 가군 $R^{mn\oplus }$으로 생각할 수 있다.

응용

쌍가군에 대하여, 호흐실트 호몰로지와 호흐실트 코호몰로지를 정의할 수 있다.

쌍가군의 개념은 모리타 동치 및 모리타 쌍대성을 정의할 때 쓰인다.

외부 링크

• “Bimodule”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Bimodule”. 《nLab》 (영어). 
• Yuan, Qiaochu (2012년 2월 16일). “Morita equivalence and the bicategory of bimodules”. 《Annoying Precision》 (영어). 2015년 9월 8일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 3월 14일에 확인함.