다음 데이터가 주어졌다고 하자.
가환환
K
{\displaystyle K}
K
{\displaystyle K}
결합 대수
A
{\displaystyle A}
(
A
,
K
,
A
)
{\displaystyle (A,K,A)}
쌍가군
A
M
A
{\displaystyle _{A}M_{A}}
M
{\displaystyle M}
(
A
,
A
)
{\displaystyle (A,A)}
쌍가군 이며, 또한
M
{\displaystyle M}
K
{\displaystyle K}
K
{\displaystyle K}
호흐실트 (코)호몰로지는 다음과 같이 여러가지로 정의될 수 있으나, 이 정의들은 서로 동치 이다.
호흐실트 (코)호몰로지는 Ext 함자 (또는 Tor 함자 )의 특수한 경우로 추상적으로 정의될 수 있다.
호흐실트 (코)호몰로지는 호흐실트 (공)사슬 복합체 (영어 : Hochschild (co)chain complex )라는 (공)사슬 복합체 의 (코)호몰로지 로 구체적으로 정의될 수 있다.
호흐실트 (코)호몰로지는 단체 대상 의 이론을 통해 정의될 수 있다. 흔히,
A
M
A
=
A
A
A
{\displaystyle _{A}M_{A}={}_{A}A_{A}}
A
{\displaystyle A}
포락 대수 (包絡代數, 영어 : enveloping algebra )
A
e
=
A
⊗
K
A
op
{\displaystyle A^{\operatorname {e} }=A\otimes _{K}A^{\operatorname {op} }}
를 정의할 수 있다. 이는
K
{\displaystyle K}
결합 대수 이며,
M
{\displaystyle M}
A
e
{\displaystyle A^{\operatorname {e} }}
왼쪽 가군 을 이룬다. 마찬가지로,
A
{\displaystyle A}
A
e
{\displaystyle A^{\operatorname {e} }}
왼쪽 가군 을 이룬다. 구체적으로,
(
a
⊗
K
b
op
)
⋅
m
=
a
⋅
m
⋅
b
∀
a
,
b
∈
A
,
m
∈
M
{\displaystyle (a\otimes _{K}b^{\operatorname {op} })\cdot m=a\cdot m\cdot b\qquad \forall a,b\in A,m\in M}
(
a
⊗
K
b
op
)
⋅
c
=
a
⋅
c
⋅
b
∀
a
,
b
,
c
∈
A
{\displaystyle (a\otimes _{K}b^{\operatorname {op} })\cdot c=a\cdot c\cdot b\qquad \forall a,b,c\in A}
이다.
A
{\displaystyle A}
M
{\displaystyle M}
호흐실트 호몰로지 군
HH
n
(
A
;
M
)
{\displaystyle \operatorname {HH} _{n}(A;M)}
호흐실트 코호몰로지 군
HH
n
(
A
;
M
)
{\displaystyle \operatorname {HH} ^{n}(A;M)}
Ext 함자 및 Tor 함자 로 정의된다.
HH
n
(
A
;
M
)
=
Tor
n
A
e
(
A
,
M
)
{\displaystyle \operatorname {HH} _{n}(A;M)=\operatorname {Tor} _{n}^{A^{\operatorname {e} }}(A,M)}
HH
n
(
A
;
M
)
=
Ext
A
e
n
(
A
,
M
)
{\displaystyle \operatorname {HH} ^{n}(A;M)=\operatorname {Ext} _{A^{\operatorname {e} }}^{n}(A,M)}
다음이 주어졌다고 하자.
가환환
K
{\displaystyle K}
K
{\displaystyle K}
가군 범주의 단체 대상
(
X
∙
,
∂
∙
,
i
,
s
∙
,
i
)
{\displaystyle (X_{\bullet },\partial _{\bullet ,i},s_{\bullet ,i})}
그렇다면,
∂
n
=
∑
i
=
0
n
(
−
)
i
∂
n
,
i
{\displaystyle \partial _{n}=\sum _{i=0}^{n}(-)^{i}\partial _{n,i}}
를 정의하면,
∂
n
∘
∂
n
+
1
=
0
{\displaystyle \partial _{n}\circ \partial _{n+1}=0}
이 되어, 사슬 복합체
⋯
←
∂
X
2
←
∂
X
1
←
∂
X
0
→
0
{\displaystyle \dotsb {\xleftarrow {\partial }}X_{2}{\xleftarrow {\partial }}X_{1}{\xleftarrow {\partial }}X_{0}\to 0}
를 정의할 수 있다. 이 사슬 복합체의 호몰로지 를 단체 가군
X
∙
{\displaystyle X_{\bullet }}
호흐실트 호몰로지 라고 한다. 마찬가지로, 이 사슬 복합체의 쌍대 가군 들로 구성된 공사슬 복합체
X
n
=
hom
K
(
X
n
,
K
)
{\displaystyle X^{n}=\hom _{K}(X_{n},K)}
0
→
X
1
→
X
2
→
⋯
{\displaystyle 0\to X^{1}\to X^{2}\to \dotsb }
의 코호몰로지 를 단체 가군
X
∙
{\displaystyle X_{\bullet }}
호흐실트 코호몰로지 라고 한다. (호흐실트 (코)호몰로지의 정의에는 퇴화 사상
s
∙
,
i
{\displaystyle s_{\bullet ,i}}
특히, 만약 위와 같이
K
{\displaystyle K}
결합 대수
A
{\displaystyle A}
(
A
,
K
,
A
)
{\displaystyle (A,K,A)}
쌍가군
M
{\displaystyle M}
호흐실트 단체 가군 (영어 : Hochschild simplicial module )
C
∙
(
A
;
M
)
{\displaystyle C_{\bullet }(A;M)}
[ 1] :45, (1.6.1.2)
C
n
(
A
;
M
)
=
M
⊗
K
A
⊗
K
n
{\displaystyle C_{n}(A;M)=M\otimes _{K}A^{\otimes _{K}n}}
∂
n
,
i
:
C
n
(
A
;
M
)
→
C
n
+
1
(
A
;
M
)
{\displaystyle \partial _{n,i}\colon C_{n}(A;M)\to C_{n+1}(A;M)}
∂
n
,
i
:
m
⊗
K
a
1
⊗
K
⋯
⊗
K
a
n
↦
{
(
m
a
1
)
⊗
K
⋯
⊗
K
a
n
i
=
0
m
⊗
K
a
1
⊗
K
⋯
⊗
K
a
i
−
1
⊗
K
a
i
a
i
+
1
⊗
K
a
i
+
2
⊗
K
⋯
⊗
K
a
n
0
<
i
<
n
a
n
m
⊗
K
a
1
⊗
K
⋯
⊗
K
a
n
−
1
i
=
n
{\displaystyle \partial _{n,i}\colon m\otimes _{K}a_{1}\otimes _{K}\dotsb \otimes _{K}a_{n}\mapsto {\begin{cases}(ma_{1})\otimes _{K}\dotsb \otimes _{K}a_{n}&i=0\\m\otimes _{K}a_{1}\otimes _{K}\dotsb \otimes _{K}a_{i-1}\otimes _{K}a_{i}a_{i+1}\otimes _{K}a_{i+2}\otimes _{K}\cdots \otimes _{K}a_{n}&0<i<n\\a_{n}m\otimes _{K}a_{1}\otimes _{K}\dotsb \otimes _{K}a_{n-1}&i=n\end{cases}}}
s
n
,
i
:
C
n
(
A
;
M
)
→
C
n
−
1
(
A
;
M
)
{\displaystyle s_{n,i}\colon C_{n}(A;M)\to C_{n-1}(A;M)}
s
n
,
i
:
a
0
⊗
K
⋯
⊗
K
a
n
↦
m
⊗
K
a
1
⊗
K
⋯
⊗
K
a
i
⊗
K
1
⊗
K
a
i
+
1
⊗
K
a
n
{\displaystyle s_{n,i}\colon a_{0}\otimes _{K}\dotsb \otimes _{K}a_{n}\mapsto m\otimes _{K}a_{1}\otimes _{K}\dotsb \otimes _{K}a_{i}\otimes _{K}1\otimes _{K}a_{i+1}\otimes _{K}a_{n}}
결합 대수
A
{\displaystyle A}
M
{\displaystyle M}
호흐실트 호몰로지 란 그 호흐실트 단체 가군의 호흐실트 호몰로지를 말한다.
C
∙
(
A
;
M
)
{\displaystyle C_{\bullet }(A;M)}
사슬 복합체 로서
M
⊗
A
e
Bar
∙
(
A
,
A
,
A
)
{\displaystyle M\otimes _{A^{\operatorname {e} }}\operatorname {Bar} _{\bullet }(A,A,A)}
의 꼴이다. 여기서
Bar
∙
(
A
,
A
,
A
)
{\displaystyle \operatorname {Bar} _{\bullet }(A,A,A)}
A
{\displaystyle A}
막대 복합체 이다. 이제, 이를 쌍대화하여 공사슬 복합체
C
∙
(
A
;
M
)
=
hom
A
e
(
Bar
∙
(
A
,
A
,
A
)
,
M
)
{\displaystyle C^{\bullet }(A;M)=\hom _{A^{\operatorname {e} }}(\operatorname {Bar} _{\bullet }(A,A,A),M)}
를 정의할 수 있으며,
A
{\displaystyle A}
M
∨
{\displaystyle M^{\vee }}
호흐실트 코호몰로지 란 이 공사슬 복합체의 코호몰로지이다.
A
{\displaystyle A}
가군 범주 속의 단체 대상 에 대하여 일반화될 수 있다.
다음이 주어졌다고 하자.
가환환
K
{\displaystyle K}
Mod
K
{\displaystyle \operatorname {Mod} _{K}}
단체 대상
X
:
△
op
→
Mod
K
{\displaystyle X\colon \triangle ^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Mod} _{K}}
△
{\displaystyle \triangle }
단체 범주 이다.그렇다면, 단체 가군의 범주
hom
(
△
op
,
Mod
K
)
{\displaystyle \hom(\triangle ^{\operatorname {op} },\operatorname {Mod} _{K})}
아벨 범주 이므로 그 속에서 Ext 함자 를 정의할 수 있다. 또한, 단체 가군의 텐서곱 을 정의할 수 있으며, 그 유도 함자 로서 Tor 함자 를 정의할 수 있다.
이 경우,
X
{\displaystyle X}
호흐실트 호몰로지 와 호흐실트 코호몰로지 는 각각 다음과 같다.[ 1] :§6.2
HH
n
(
X
)
=
Tor
n
hom
(
△
op
,
Mod
K
)
(
K
∙
,
X
)
{\displaystyle \operatorname {HH} _{n}(X)=\operatorname {Tor} _{n}^{\hom(\triangle ^{\operatorname {op} },\operatorname {Mod} _{K})}(K_{\bullet },X)}
HH
n
(
X
)
=
Ext
hom
(
△
op
,
Mod
K
)
n
(
X
,
K
∙
)
{\displaystyle \operatorname {HH} ^{n}(X)=\operatorname {Ext} _{\hom(\triangle ^{\operatorname {op} },\operatorname {Mod} _{K})}^{n}(X,K_{\bullet })}
여기서
K
∙
{\displaystyle K_{\bullet }}
자유 가군
K
{\displaystyle K}
s
n
i
{\displaystyle s_{n}^{i}}
d
n
i
{\displaystyle d_{n}^{i}}
항등 함수 인 자명한 단체 대상 이다.
(사실, 만약
A
=
M
{\displaystyle A=M}
C
n
(
A
;
A
)
{\displaystyle C_{n}(A;A)}
순환 대상 을 이룬다. 이 경우, 단체 가군의 범주 대신 순환 가군의 범주
hom
(
△
Cyc
op
,
Mod
K
)
{\displaystyle \hom(\triangle _{\operatorname {Cyc} }^{\operatorname {op} },\operatorname {Mod} _{K})}
Tor 함자 와 Ext 함자 를 취할 수 있으며, 이 경우 순환 (코)호몰로지 를 얻는다.[ 1] :213, Theorem 6.2.8 [ 1] :214, Theorem 6.2.9
가환환
K
{\displaystyle K}
결합 대수
A
{\displaystyle A}
(
A
,
K
,
A
)
{\displaystyle (A,K,A)}
쌍가군
M
{\displaystyle M}
HH
n
(
A
;
M
)
{\displaystyle \operatorname {HH} ^{n}(A;M)}
HH
n
(
A
;
M
)
{\displaystyle \operatorname {HH} ^{n}(A;M)}
K
{\displaystyle K}
가군 이며, 사실
Z
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {Z} (A)}
가군 을 이룬다.[ 1] :10, §1.1.5
임의의 가환환
K
{\displaystyle K}
결합 대수 의 범주
Alg
K
{\displaystyle \operatorname {Alg} _{K}}
K
{\displaystyle K}
결합 대수
A
{\displaystyle A}
(
A
,
K
,
A
)
{\displaystyle (A,K,A)}
쌍가군 의 범주
A
Mod
A
{\displaystyle _{A}\operatorname {Mod} _{A}}
그렇다면, 호흐실트 (코)호몰로지는 다음과 같은 함자 를 정의한다.[ 1] :10, §1.1.4
HH
n
:
A
Mod
A
→
Mod
Z
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {HH} _{n}\colon {}_{A}\operatorname {Mod} _{A}\to \operatorname {Mod} _{\operatorname {Z} (A)}}
HH
n
:
A
Mod
A
→
Mod
Z
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {HH} ^{n}\colon {}_{A}\operatorname {Mod} _{A}\to \operatorname {Mod} _{\operatorname {Z} (A)}}
또한, 임의의
K
{\displaystyle K}
결합 대수 준동형
ϕ
:
B
→
A
{\displaystyle \phi \colon B\to A}
및
(
A
,
K
,
A
)
{\displaystyle (A,K,A)}
쌍가군
M
{\displaystyle M}
ϕ
∗
M
{\displaystyle \phi ^{*}M}
(
B
,
K
,
B
)
{\displaystyle (B,K,B)}
쌍가군 을 이루며,
이는 호흐실트 호몰로지의 사상[ 1] :10, §1.1.4
ϕ
∗
:
HH
∙
(
B
;
ϕ
∗
M
)
→
HH
n
(
A
;
M
)
{\displaystyle \phi _{*}\colon \operatorname {HH} ^{\bullet }(B;\phi ^{*}M)\to \operatorname {HH} _{n}(A;M)}
및 호흐실트 코호몰로지의 사상[ 1] :38, §1.5.1
ϕ
∗
:
HH
∙
(
A
;
M
)
→
HH
n
(
B
;
ϕ
∗
M
)
{\displaystyle \phi ^{*}\colon \operatorname {HH} ^{\bullet }(A;M)\to \operatorname {HH} ^{n}(B;\phi ^{*}M)}
을 유도한다.
특히, 만약
M
=
A
{\displaystyle M=A}
K
{\displaystyle K}
결합 대수 의 범주(의 반대 범주 )에서
K
{\displaystyle K}
함자
HH
n
(
−
)
:
Alg
K
→
Mod
K
{\displaystyle \operatorname {HH} _{n}(-)\colon \operatorname {Alg} _{K}\to \operatorname {Mod} _{K}}
HH
n
(
−
)
:
Alg
K
op
→
Mod
K
{\displaystyle \operatorname {HH} ^{n}(-)\colon \operatorname {Alg} _{K}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Mod} _{K}}
를 정의한다.
가환환
K
{\displaystyle K}
결합 대수
A
{\displaystyle A}
(
A
,
K
,
A
)
{\displaystyle (A,K,A)}
쌍가군
M
{\displaystyle M}
그렇다면, 호흐실트 사슬 복합체는 다음과 같이 시작한다.
C
0
(
A
;
M
)
=
M
{\displaystyle C_{0}(A;M)=M}
C
1
(
A
;
M
)
=
M
⊗
K
A
{\displaystyle C_{1}(A;M)=M\otimes _{K}A}
∂
1
=
∂
1
,
0
−
∂
1
,
1
{\displaystyle \partial _{1}=\partial _{1,0}-\partial _{1,1}}
∂
1
,
0
:
m
⊗
K
a
↦
m
a
{\displaystyle \partial _{1,0}\colon m\otimes _{K}a\mapsto ma}
∂
1
,
1
:
m
⊗
K
a
↦
a
m
{\displaystyle \partial _{1,1}\colon m\otimes _{K}a\mapsto am}
이에 따라,
HH
0
(
A
;
M
)
=
M
[
M
,
A
]
{\displaystyle \operatorname {HH} _{0}(A;M)={\frac {M}{[M,A]}}}
이다.[ 1] :10, §1.1.6
마찬가지로, 호흐실트 공사슬 복합체는 다음과 같이 시작한다.
C
0
(
A
;
M
)
=
M
{\displaystyle C^{0}(A;M)=M}
C
1
(
A
;
M
)
=
M
⊗
A
∨
{\displaystyle C^{1}(A;M)=M\otimes A^{\vee }}
d
0
:
C
0
(
A
;
M
)
→
C
1
(
A
;
M
)
{\displaystyle \mathrm {d} ^{0}\colon C^{0}(A;M)\to C^{1}(A;M)}
d
0
(
m
)
(
a
)
=
m
a
−
a
m
{\displaystyle \mathrm {d} ^{0}(m)(a)=ma-am}
이에 따라,
HH
0
(
A
;
M
)
=
{
m
∈
M
:
a
m
=
m
a
∀
a
∈
A
}
{\displaystyle \operatorname {HH} ^{0}(A;M)=\{m\in M\colon am=ma\qquad \forall a\in A\}}
는 환의 중심 의 개념의 일반화이다.[ 1] :38, §1.5.2
가환환
K
{\displaystyle K}
결합 대수
A
{\displaystyle A}
(
A
,
K
,
A
)
{\displaystyle (A,K,A)}
쌍가군
M
{\displaystyle M}
1차 호흐실트 코호몰로지는 다음과 같다.[ 1] :38, §1.5.2
K
{\displaystyle K}
가군 준동형
δ
:
A
→
M
{\displaystyle \delta \colon A\to M}
가운데
δ
(
a
b
)
=
a
δ
(
b
)
+
δ
(
a
)
b
{\displaystyle \delta (ab)=a\delta (b)+\delta (a)b}
와 같은 곱 규칙 을 만족시키는 것이다. 이러한 것들을 미분 (영어 : derivation )이라고 하자. 반면, 1차 호흐실트 공경계는
[
m
,
−
]
:
A
→
M
(
m
∈
M
)
{\displaystyle [m,-]\colon A\to M\qquad (m\in M)}
와 같은 꼴의
K
{\displaystyle K}
가군 준동형 이다. 즉, 이러한 것들을 내부 미분 (영어 : inner derivation )이라고 하자. 그렇다면, 1차 호흐실트 코호몰로지는 미분의 공간의, 내부 미분에 대한 몫, 즉 외부 미분 (영어 : outer derivation )의 공간으로 여겨질 수 있다.
가환환
K
{\displaystyle K}
가환 결합 대수
A
{\displaystyle A}
A
{\displaystyle A}
가군
M
{\displaystyle M}
[ 2] :307, Proposition 9.2.2 [ 1] :11, Proposition 1.1.10
HH
0
(
A
;
M
)
≅
M
{\displaystyle \operatorname {HH} _{0}(A;M)\cong M}
HH
1
(
A
;
M
)
≅
M
⊗
A
Ω
A
/
K
{\displaystyle \operatorname {HH} _{1}(A;M)\cong M\otimes _{A}\Omega _{A/K}}
여기서
Ω
A
/
K
{\displaystyle \Omega _{A/K}}
켈러 미분 의 가군이다.
즉, 1차 호흐실트 호몰로지는 1차 미분 형식 에 대응한다. 비가환 기하학 에서는 이를 사용하여 비가환 공간 위의 미분 형식을 정의한다.
복소수 계수 다항식환
C
[
x
→
]
{\displaystyle \mathbb {C} [{\vec {x}}]}
x
→
∈
C
k
{\displaystyle {\vec {x}}\in \mathbb {C} ^{k}}
HH
n
(
C
[
x
→
]
;
C
[
x
→
]
)
=
C
[
x
→
]
⊗
C
Λ
n
(
C
k
)
{\displaystyle \operatorname {HH} _{n}(\mathbb {C} [{\vec {x}}];\mathbb {C} [{\vec {x}}])=\mathbb {C} [{\vec {x}}]\otimes _{\mathbb {C} }\Lambda ^{n}(\mathbb {C} ^{k})}
여기서
Λ
n
(
−
)
{\displaystyle \Lambda ^{n}(-)}
외대수 이다. 구체적으로,
n
{\displaystyle n}
C
n
(
C
[
x
→
]
)
=
C
[
x
→
0
,
x
→
1
,
…
,
x
→
n
]
{\displaystyle C_{n}(\mathbb {C} [{\vec {x}}])=\mathbb {C} [{\vec {x}}_{0},{\vec {x}}_{1},\dotsc ,{\vec {x}}_{n}]}
호흐실트 사슬에 대응하는 호몰로지 동치류는 다음과 같다.
p
(
x
→
0
,
…
,
x
→
n
)
↦
∑
i
1
=
1
k
∑
i
2
=
1
k
⋯
∑
i
n
=
1
k
∂
∂
(
x
1
)
i
1
∂
∂
(
x
2
)
i
2
⋯
∂
∂
(
x
n
)
i
n
p
|
x
→
0
=
x
→
1
=
x
→
2
=
⋯
=
x
→
n
=
x
→
d
(
x
1
)
i
1
∧
d
(
x
2
)
i
2
∧
⋯
∧
d
(
x
n
)
i
n
{\displaystyle p({\vec {x}}_{0},\dotsc ,{\vec {x}}_{n})\mapsto \sum _{i_{1}=1}^{k}\sum _{i_{2}=1}^{k}\dotsi \sum _{i_{n}=1}^{k}\left.{\frac {\partial }{\partial (x_{1})^{i_{1}}}}{\frac {\partial }{\partial (x_{2})^{i_{2}}}}\dotsm {\frac {\partial }{\partial (x_{n})^{i_{n}}}}p\right|_{{\vec {x}}_{0}={\vec {x}}_{1}={\vec {x}}_{2}=\dotsb ={\vec {x}}_{n}={\vec {x}}}\mathrm {d} (x_{1})^{i_{1}}\wedge \mathrm {d} (x_{2})^{i_{2}}\wedge \dotsb \wedge \mathrm {d} (x_{n})^{i_{n}}}
![{\displaystyle \operatorname {HH} _{0}(A;M)={\frac {M}{[M,A]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0f46acaaec131e1a2feba6d48bd5644a77b329e)
![{\displaystyle [m,-]\colon A\to M\qquad (m\in M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/588f04d9244a53d874658bb39e4abca48ab3b6c5)
![{\displaystyle \mathbb {C} [{\vec {x}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28ae22496a26c293d089e96b1c9da42d3d93b9ce)
![{\displaystyle \operatorname {HH} _{n}(\mathbb {C} [{\vec {x}}];\mathbb {C} [{\vec {x}}])=\mathbb {C} [{\vec {x}}]\otimes _{\mathbb {C} }\Lambda ^{n}(\mathbb {C} ^{k})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92cecfa8e3b33b6bc7e93c5000a898656a88a65a)
![{\displaystyle C_{n}(\mathbb {C} [{\vec {x}}])=\mathbb {C} [{\vec {x}}_{0},{\vec {x}}_{1},\dotsc ,{\vec {x}}_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a94aaec7f80f657810ac77411202188d27d60fa)
