막대 복합체

호몰로지 대수학에서 막대 복합체(막대複合體, 영어: bar complex 바 콤플렉스^[*])는 가환환 위의 결합 대수에 대하여 정의되는 완전열이다.^[1]^:§4 Tor 함자와 Ext 함자 등을 계산할 때 쓰인다.

정의

결합 대수에 대한 정의

다음이 주어졌다고 하자.

가환환 $K$
(항등원을 갖는) $K$ -결합 대수 $A$
$A$ -오른쪽 가군 $M_{A}$
$A$ -왼쪽 가군 $_{A}M'$

그렇다면, 막대 복합체 $\operatorname {Bar} _{\bullet }^{K}(M,A,M')$ 는 다음과 같은, $K$ -가군의 범주 속의 단체 대상이다.

\operatorname {Bar} _{n}(M,A,M')=M\otimes _{K}A^{\otimes _{K}n}\otimes _{K}M'

\partial _{n,i}\operatorname {Bar} _{n}(M,A,M')\to \operatorname {Bar} _{n-1}(M,A,M')\qquad (0\leq i\leq n)

\partial _{n,i}\colon m\otimes _{K}a_{1}\otimes _{K}\dotsb \otimes _{K}a_{n}\otimes _{K}m'\mapsto {\begin{cases}ma_{1}\otimes _{K}a_{2}\otimes _{K}\otimes \dotsb \otimes _{K}a_{n}\otimes _{K}\otimes m'&i=0\\m\otimes _{K}a_{1}\otimes _{K}\dotsb \otimes _{K}a_{i-1}\otimes _{K}a_{i}a_{i+1}\otimes _{K}a_{i+1}\otimes _{K}\dotsb \otimes _{K}a_{n}\otimes _{K}m'&0<i<n\\m\otimes _{K}a_{1}\otimes _{K}\dotsb \otimes _{K}a_{n-1}\otimes _{K}a_{n}m'&i=n\end{cases}}

s_{n,i}\colon \operatorname {Bar} _{n}(M,A,M')\to \operatorname {Bar} _{n+1}(M,A,M')\qquad (0\leq i\leq n)

s_{n,i}\colon m\otimes _{K}a_{1}\otimes _{K}\dotsb \otimes _{K}a_{n}\otimes _{K}m'\mapsto m\otimes _{K}a_{1}\otimes _{K}\dotsb \otimes _{K}a_{i}\otimes _{K}1\otimes _{K}a_{i+1}\otimes _{K}\dotsb \otimes _{K}a_{n}\otimes _{K}m'

특히,

\partial _{n}=\sum _{i=0}^{n}(-)^{i}\partial _{n,i}

로 놓으면, 이는 사슬 복합체를 이룬다.

일반적 정의

보다 일반적으로, 모노이드 범주 $({\mathcal {C}},\otimes )$ 속의 모노이드 대상 $A$ 및 그 왼쪽 가군 $_{A}M$ 과 오른쪽 가군 $M'_{A}$ 이 주어졌을 때, 위와 같은 구성을 마찬가지로 전개할 수 있다. 이 경우, $\operatorname {Bar} _{\bullet }^{\mathcal {C}}(M,A,M')$ 은 ${\mathcal {C}}$ 속의 단체 대상을 이룬다.

예를 들어, 모노이드 $A$ 와 그 왼쪽 모노이드 작용을 갖는 집합 $_{A}M$ 및 오른쪽 모노이드 작용을 갖는 집합 $M'_{A}$ 이 주어졌을 때, $\operatorname {Bar} _{\bullet }^{\operatorname {Set} }(M,A,M')$ 은 단체 집합을 이룬다.

성질

완전성

가환환 $K$ 위의 결합 대수 $A$ 및 그 위의 오른쪽 가군 $M_{A}$ 과 왼쪽 가군 $_{A}M'$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 막대 복합체 $\operatorname {Bar} _{\bullet }^{K}(M,A,M')$ 를 생각할 수 있다. 또한, 막대 복합체의 마지막 항에

\operatorname {Bar} _{0}^{K}(M,A,M')=M\otimes _{K}M'\to \operatorname {Bar} _{-1}^{K}(M,A,M')=M\otimes _{A}M'

을 추가할 수 있다. 그렇다면,

\dotsb \to \operatorname {Bar} _{1}^{K}(M,A,M')\to \operatorname {Bar} _{0}^{K}(M,A,M')\to \operatorname {Bar} _{-1}^{K}(M,A,M')\to 0

은 완전열이다. 즉, 그 호몰로지는 자명군이다. 이에 따라, 막대 복합체 $\operatorname {Bar} (M,A,M')$ 은 $M\otimes _{A}M'$ 의 분해를 정의한다.

특히, $M=M'=A$ 인 경우, $\operatorname {Bar} _{\bullet }^{K}(A,A,A)$ 는 $A$ 의 ( $(A,A)$ -쌍가군으로서의) 분해(영어: resolution)를 이룬다.^[2]^{:12, Proposition–definition 1.1.12}

예

호흐실트 호몰로지

가환환 $K$ 위의 결합 대수 $A$ 가 주어졌다고 하자. $\operatorname {Bar} _{\bullet }^{K}(A,A,A)$ 의 각 성분은 모두 $(A,A)$ -쌍가군이므로, 포락 대수 $A^{\operatorname {e} }=A\otimes _{K}A^{\operatorname {op} }$ 를 정의하였을 때 $\operatorname {Bar} _{\bullet }^{K}(A,A,A)$ 는 $A^{\operatorname {e} }$ -사슬 복합체를 이룬다. 임의의 $(A,A)$ -쌍가군 $M$ 에 대하여,

C_{\bullet }(A;M)=M\otimes _{A^{\operatorname {e} }}\operatorname {Bar} _{\bullet }^{K}(A,A,A)

는 $A$ 의 $M$ 계수 호흐실트 사슬 복합체이며, 마찬가지로

C^{\bullet }(A;M)=\hom _{A^{\operatorname {e} }}(\operatorname {Bar} _{\bullet }^{K}(A,A,A),M)

은 $A$ 의 $M$ 계수 호흐실트 공사슬 복합체이다.

군 코호몰로지

군 코호몰로지와 군 호몰로지를 계산하는 표준적인 공사슬 복합체와 사슬 복합체는 막대 복합체의 특수한 경우이다.

분류 공간

위상 공간의 (범주론적 곱에 대한) 모노이드 범주에서, 위상군 $G$ 가 주어졌다고 하자. 이는 물론 한원소 공간 $\bullet$ 위에 자명하게 작용한다. 이에 따라, 막대 복합체 $\operatorname {Bar} _{\bullet }^{\operatorname {Top} }(\bullet ,G,\bullet )$ 를 정의할 수 있다. 또한, $G$ 는 스스로 위에 왼쪽 및 오른쪽에서 작용한다. 따라서, 막대 복합체 $\operatorname {Bar} _{\bullet }^{\operatorname {Top} }(\bullet ,G,G)$ 를 정의할 수 있다. 이 경우, 표준적인 몫 사상