잉여류

군론에서 잉여류(剩餘類, 영어: coset 코셋^[*])는 주어진 부분군에 의하여 결정되는 동치 관계의 동치류이다.

정의

$G$ 가 군이고, $H\leq G$ 가 그 부분군이며, $g\in G$ 가 $G$ 의 원소일 때, $g$ 가 속하는 $H$ 의 왼쪽 잉여류(영어: left coset)는 다음과 같다.

gH=\{gh\colon h\in H\}

마찬가지로, $g$ 가 속하는 $H$ 의 오른쪽 잉여류(영어: right coset)는 다음과 같다.

Hg=\{hg\colon h\in H\}

(아벨 군의 경우를 비롯해 덧셈 기호를 사용할 때에는 잉여류를 $g+H$ 나 $H+g$ 로 표기한다.)

$G$ 속의 $H$ 의 모든 왼쪽 잉여류의 집합을 $G/H$ 라고 표기한다. (만약 $H$ 가 정규 부분군일 경우, 이는 자연스러운 군의 구조를 가지며, 몫군이라고 한다.) $G/H$ 의 크기는 $|G:H|$ 라고 표기하며, $H$ 의 $G$ 속에서의 지표(指標, 영어: index)라고 한다. 즉, 부분군의 지표는 왼쪽 잉여류들의 수이다.

잉여류 공간

$G$ 가 위상군이라고 하자. 그렇다면, 왼쪽 잉여류 집합 $G/H$ 는 자연스러운 몫공간 위상을 갖는다. 이를 잉여류 공간(영어: coset space)이라고 한다. 이는 동차공간을 이룬다.

성질

군 $G$ 의 부분군 $H$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

모든 $g\in G$ 에 대하여, $gH=Hg$ 이다.
$H$ 는 $G$ 의 정규 부분군이다.

라그랑주 정리에 따르면, 만약 $G$ 가 유한군이라면, 부분군 $H\leq G$ 의 지표는 다음과 같다.

|G:H|=|G|/|H|

만약 일련의 부분군들 $K\leq H\leq G$ 이 주어졌다면,

|G:K|=|G:H||H:K|

이다. 여기서 우변은 기수의 곱셈이다.

지표가 2인 부분군은 항상 정규 부분군이다. 보다 일반적으로, 유한군 $G$ 및 소수 $p$ 에 대하여, 만약 $p$ 가 $|G|$ 의 최소 소인수라면, 지표가 $p$ 인 부분군은 항상 정규 부분군이다.

증명:

우선, 군 $G$ 와 부분군 $N\leq G$ 가 주어졌고, $|G:N|=2$ 라고 하자. 그렇다면, 임의의 $g\in G$ 에 대하여

gN=Ng={\begin{cases}N&g\in N\\G\setminus N&g\not \in N\end{cases}}

이다. 즉, $N$ 은 $G$ 의 정규 부분군이다.

유한군 $G$ 및 소수 $p$ 및 부분군 $N\leq G$ 가 주어졌고, $p$ 가 $|G|$ 의 최소 소인수이며, $|G|/|N|=p$ 라고 하자. $N$ 이 정규 부분군이라는 사실을 증명하려면, 임의의 $g\in G\setminus N$ 에 대하여 $gNg^{-1}=N$ 임을 보이면 된다.

H=gNg^{-1}\cap N\leq N

이라고 하자. 그렇다면 $|N|/|H|=1$ 임을 보이기만 하면 된다.

|gNg^{-1}N|=|N|^{2}/|H|\leq |G|

이므로

|N|/|H|\leq |G|/|N|=p

이다. $p$ 는 $|G|$ 의 최소 소인수이므로, $|N|/|H|=1$ 이거나 $|N|/|H|=p$ 이다. 만약 $|N|/|H|=p$ 라면,

|gNg^{-1}N|=p|N|=|G|

이므로 $G=gNg^{-1}N$ 이며, 특히

g=gng^{-1}n'

인 $n,n'\in N$ 이 존재한다.

g^{-1}=n^{-1}{n'}^{-1}\in N

이므로 $g\in G\setminus N$ 와 모순이다. (이 명제는 정규핵을 사용하여 증명할 수도 있다.)

예

정수의 덧셈군 $G=\mathbb {Z}$ 속의, $n$ 의 배수들로 구성된 부분군

H=n\mathbb {Z}

을 생각하자. 그렇다면, $k\in \mathbb {Z}$ 의 잉여류

k+H=H+k=\{x\in \mathbb {Z} \colon x\equiv k{\pmod {n}}\}\subseteq G

는 $k$ 와 합동인 정수들의 집합이다. 이 경우 $H$ 는 정규 부분군이므로, 잉여류 공간 $G/H=\operatorname {Cyc} (n)$ 은 몫군을 이루며, 이는 크기 $n$ 의 순환군이다.

같이 보기

외부 링크

“Coset in a group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Coset”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Left coset”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Right coset”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Subgroup index”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
“Subgroup of least prime index is normal”. 《Groupprops, The Group Properties Wiki》 (영어).