대칭 공간

리만 기하학과 리 군론에서 대칭 공간(對稱空間, 영어: symmetric space)은 일반점의 안정자군이 어떤 대합에 의하여 정의되는 동차 공간이다.

정의

대칭 공간 $G/H$ 는 다음 조건을 만족시키는 동차 공간이다.

H

는 어떤 대합

\sigma \colon G\to G

에 대하여,

G^{\sigma }

의 열린집합이다.

여기서

G^{\sigma }=\{g\in G\colon \sigma g=g\}

는 $\sigma$ 에 의한 고정점들의 부분 공간이다.

대칭 공간의 계수(階數, 영어: rank)는 접공간의 부분 벡터 공간 가운데, 곡률이 0인 것의 최대 차원이다. 대칭 공간 가운데 에르미트 다양체인 것들은 항상 자동적으로 켈러 다양체를 이루며, 이를 에르미트 대칭 공간(Hermite對稱空間, 영어: Hermitian symmetric space)이라고 한다.

$G$ 의 리 대수가 ${\mathfrak {g}}$ 라고 하자. 대합

\sigma \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}

는 $\sigma ^{2}=1$ 이므로 고윳값 $\pm 1$ 을 갖는다. 이에 따라, ${\mathfrak {g}}$ 는 두 부분 공간의 직합으로 나타내어지며, 고윳값이 $+1$ 인 부분 대수는 $H$ 의 리 대수 ${\mathfrak {h}}$ 와 같다. 고윳값이 $-1$ 인 부분 대수는 ${\mathfrak {m}}$ 이라고 적자.

{\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {m}}

[{\mathfrak {h}},{\mathfrak {h}}]\subset {\mathfrak {h}}

[{\mathfrak {h}},{\mathfrak {m}}]\subset {\mathfrak {m}}

[{\mathfrak {m}},{\mathfrak {m}}]\subset {\mathfrak {h}}

성질

함의 관계

리 군 $G$ 의 닫힌 부분군 $H\leq G$ 가 주어졌으며, 이들에 대응하는 리 대수가 각각 ${\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {g}}$ 라고 하자. 또한, 항상

{\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}+{\mathfrak {m}}

이 되는 실수 벡터 공간 ${\mathfrak {m}}\subseteq {\mathfrak {g}}$ 를 찾을 수 있다. 이제, ${\mathfrak {m}}$ 이 가질 수 있는 다음과 같은 일련의 조건들을 정의할 수 있으며, 이 조건들은 다음과 같은 동차 공간들을 정의한다.

공간	조건
동차 공간	(없음)
가약 동차 공간	$\operatorname {Ad} (H){\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {m}}$
대칭 공간	$\operatorname {Ad} (H){\mathfrak {m}}\subseteq {\mathfrak {m}}$ , $[{\mathfrak {m}},{\mathfrak {m}}]\subseteq {\mathfrak {h}}$
리만 대칭 공간	대칭 공간이며, ${\mathfrak {m}}$ 위에 $\operatorname {Ad} (H)$ -불변 내적이 존재

여기서, $\operatorname {Ad} (H){\mathfrak {m}}\subseteq {\mathfrak {m}}$ 인 조건은

[{\mathfrak {h}},{\mathfrak {m}}]\subseteq {\mathfrak {m}}

을 함의한다. (만약 $H$ 의 중심이 자명하다면 이는 리 대수 조건과 동치이다.)

리만 대칭 공간의 경우, ${\mathfrak {m}}$ 은 $G/H$ 의 접공간과 동형이므로, ${\mathfrak {m}}$ 위의 내적은 $G/H$ 위의 리만 계량을 정의한다.

분류

콤팩트 대칭 공간은 엘리 카르탕에 의하여 모두 분류되었다.^[1]^[2]

모든 연결 단일 연결 콤팩트 대칭 공간은 아래 군들의 직접곱이다. 아래 목록에서, 켈러 다양체가 되는 것은 특별히 표시하였다.

이름	G	H	차원	계수	켈러 다양체
A_I	$\operatorname {SU} (n)$	$\operatorname {SO} (n)$	$(n-1)(n+2)/2$	$n-1$
A_II	$\operatorname {SU} (2n)$	$\operatorname {USp} (2n)$	$(n-1)(2n+1)$	$n-1$
A_III	$\operatorname {SU} (p+q)$	$\operatorname {S} (\operatorname {U} (p)\times \operatorname {U} (q))$	$2pq$	$\min\{p,q\}$	켈러 다양체
BD_I	$\operatorname {SO} (p+q)$	$\operatorname {SO} (p)\times \operatorname {SO} (q)$	$pq$	$\min\{p,q\}$	$q=2$ 인 경우는 켈러 다양체
D_III	$\operatorname {SO} (2n)$	$\operatorname {U} (n)$	$n(n-1)$	$\lfloor n/2\rfloor$	켈러 다양체
C_I	$\operatorname {USp} (2n)$	$\operatorname {U} (n)$	$n(n+1)$	$n$	켈러 다양체
C_II	$\operatorname {USp} (2p+2q)$	$\operatorname {USp} (2p)\times \operatorname {USp} (2q)$	$4pq$	$\min\{p,q\}$
E_I	$E_{6}$	$\operatorname {PUSp} (8)$	42	6
E_II	$E_{6}$	$\operatorname {SU} (6)\times \operatorname {SU} (2)$	40	4
E_III	$E_{6}$	$\operatorname {SO} (10)\times \operatorname {U} (1)$	32	2	켈러 다양체
E_IV	$E_{6}$	$F_{4}$	26	2
E_V	$E_{7}$	$\operatorname {SU} (8)/\{\pm I\}$	70	7
E_VI	$E_{7}$	$\operatorname {SO} (12)\times \operatorname {SU} (2)$	64	4
E_VII	$E_{7}$	$E_{6}\cdot \operatorname {U} (1)$	54	3	켈러 다양체
E_VIII	$E_{8}$	$\operatorname {PSpin} (16)$	128	8
E_IX	$E_{8}$	$E_{7}\cdot \operatorname {SU} (2)$	112	4
F_I	$F_{4}$	$\operatorname {USp} (6)\times \operatorname {SU} (2)$	28	4
F_II	$F_{4}$	$\operatorname {Spin} (9)$	16	1
G	$G_{2}$	$\operatorname {SO} (4)$	8	2

예

모든 콤팩트 반단순 리 군은 (킬링 형식에 비례하는 리만 계량을 부여하면) 자명하게 대칭 공간이다. 비콤팩트 반단순 리 군의 경우, 마찬가지로 준리만 다양체로 간주할 경우 대칭 공간을 이룬다.

초구와 유클리드 공간과 쌍곡 공간은 모두 대칭 공간이다. 초구의 경우, 이는

\mathbb {S} ^{n}=\operatorname {SO} (n+1)/\operatorname {SO} (n)

이며, 이는 BD_I의 특별한 경우이다. 유클리드 공간은

\mathbb {R} ^{n}=\operatorname {ISO} (n)/\operatorname {SO} (n)

의 꼴로 얻어지며, 쌍곡 공간은

\mathbb {H} ^{n}=\operatorname {SO} (n,1)/\operatorname {SO} (n)

의 꼴로 얻어진다.

더 시터르 공간과 반 더 시터르 공간은 준리만 대칭 공간이다.

같이 보기

사타케 도표

각주

↑ Cartan, Élie (1926). “Sur une classe remarquable d’espaces de Riemann”. 《Bulletin de la Société Mathématique de France》 (프랑스어) 54: 214–216. ISSN 0037-9484. JFM 52.0425.01.
↑ Cartan, Élie (1927). “Sur une classe remarquable d'espaces de Riemann II”. 《Bulletin de la Société Mathématique de France》 (프랑스어) 55: 114–134. ISSN 0037-9484. JFM 53.0390.01.

Helgason, Sigurður (1978). 《Differential geometry, Lie groups and symmetric spaces》 (영어). Academic Press. ISBN 0-12-338460-5.
Loos, Ottmar (1969). 《Symmetric spaces Ⅰ: General Theory》 (영어). Benjamin.
Loos, Ottmar (1969). 《Symmetric spaces Ⅱ: Compact Spaces and Classification》 (영어). Benjamin.
Wolf, Joseph A. (1999). 《Spaces of constant curvature》 (영어) 5판. McGraw–Hill.
Berger, Marcel (1957). “Les espaces symmétriques noncompacts”. 《Annales Scientifiques de l’École Normale Supérieure》 (프랑스어) 74: 85–177.
Helgason, Sigurður (1970). 〈Group representations and symmetric spaces〉. 《Actes du congrès international des mathématiciens, Nice 1970》 (영어). ISBN 0-12-338460-5. 2015년 4월 2일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2015년 7월 6일에 확인함.

외부 링크

“Symmetric space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Globally symmetric Riemannian space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Symmetric space”. 《nLab》 (영어).

[1] Cartan, Élie (1926). “Sur une classe remarquable d’espaces de Riemann”. 《Bulletin de la Société Mathématique de France》 (프랑스어) 54: 214–216. ISSN 0037-9484. JFM 52.0425.01.

[2] Cartan, Élie (1927). “Sur une classe remarquable d'espaces de Riemann II”. 《Bulletin de la Société Mathématique de France》 (프랑스어) 55: 114–134. ISSN 0037-9484. JFM 53.0390.01.

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