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선형대수학 에서 벡터 공간 (vector空間, 영어 : vector space , 문화어 :[ 1] [ 2] 선형 공간 (線型空間, 영어 : linear space )은 원소를 서로 더하거나 주어진 배수로 늘이거나 줄일 수 있는 공간이다. 체 에 대한, 가군 의 특수한 경우다. 벡터 공간의 원소를 벡터 (영어 : vector , 문화어 :[ 3] 노름 이 주어지지 않은 일반적인 벡터 공간에서는 벡터의 길이 자체는 정의되지 않는다.
체
K
{\displaystyle K}
벡터 공간
(
V
,
+
,
⋅
)
{\displaystyle (V,+,\cdot )}
K
{\displaystyle K}
가군 이다. 즉, 다음과 같은 튜플 이다.
V
{\displaystyle V}
집합 이다. 이 집합의 원소를 벡터 라고 한다.
+
:
V
×
V
→
V
{\displaystyle +\colon V\times V\to V}
함수 이다. 이 연산을 벡터 덧셈 이라고 한다.
⋅
:
K
×
V
→
V
{\displaystyle \cdot \colon K\times V\to V}
함수 이다. 이 연산을 스칼라 곱셈 이라고 한다.이 데이터는 다음과 같은 공리 들을 만족시켜야 한다.
(
V
,
+
)
{\displaystyle (V,+)}
아벨 군 을 이룬다. 즉, 다음 성질들이 성립한다.
(벡터 덧셈의 결합 법칙 ) 임의의
u
,
v
,
w
∈
V
{\displaystyle u,v,w\in V}
(
u
+
v
)
+
w
=
u
+
(
v
+
w
)
{\displaystyle (u+v)+w=u+(v+w)}
(벡터 덧셈의 교환 법칙 ) 임의의
u
,
v
∈
V
{\displaystyle u,v\in V}
u
+
v
=
v
+
u
{\displaystyle u+v=v+u}
(벡터 덧셈의 항등원 ) 임의의
u
∈
V
{\displaystyle u\in V}
u
+
0
=
u
{\displaystyle u+0=u}
0
∈
V
{\displaystyle 0\in V}
(역원의 존재) 임의의
u
∈
V
{\displaystyle u\in V}
−
u
+
u
=
0
{\displaystyle -u+u=0}
−
u
∈
V
{\displaystyle -u\in V}
(
V
,
+
,
⋅
)
{\displaystyle (V,+,\cdot )}
K
{\displaystyle K}
가군 을 이룬다. 즉, 다음 성질들이 성립한다.
임의의
a
,
b
∈
K
{\displaystyle a,b\in K}
v
∈
V
{\displaystyle v\in V}
a
⋅
(
b
⋅
v
)
=
(
a
b
)
⋅
v
{\displaystyle a\cdot (b\cdot v)=(ab)\cdot v}
임의의
v
∈
V
{\displaystyle v\in V}
1
⋅
v
=
v
{\displaystyle 1\cdot v=v}
1
∈
K
{\displaystyle 1\in K}
K
{\displaystyle K}
(분배 법칙 ) 임의의
a
,
b
∈
K
{\displaystyle a,b\in K}
u
,
v
∈
V
{\displaystyle u,v\in V}
(
a
+
b
)
⋅
(
u
+
v
)
=
a
⋅
u
+
b
⋅
u
+
a
⋅
v
+
b
⋅
v
{\displaystyle (a+b)\cdot (u+v)=a\cdot u+b\cdot u+a\cdot v+b\cdot v}
실수체
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
실수 벡터 공간 (實數vector空間, 영어 : real vector space )이라고 하며, 복소수체
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
복소수 벡터 공간 (複素數vector空間, 영어 : complex vector space )이라고 한다.
체
K
{\displaystyle K}
V
{\displaystyle V}
부분 집합
W
⊆
V
{\displaystyle W\subseteq V}
W
{\displaystyle W}
V
{\displaystyle V}
부분 벡터 공간 (部分vector空間, 영어 : vector subspace )이라고 한다.
0
V
∈
W
{\displaystyle 0_{V}\in W}
임의의
u
,
v
∈
W
{\displaystyle u,v\in W}
u
+
v
∈
W
{\displaystyle u+v\in W}
임의의
a
∈
K
{\displaystyle a\in K}
u
∈
W
{\displaystyle u\in W}
a
⋅
u
∈
W
{\displaystyle a\cdot u\in W}
즉, 부분 벡터 공간은
V
{\displaystyle V}
벡터 공간
V
{\displaystyle V}
S
{\displaystyle S}
S
{\displaystyle S}
생성 (영어 : span )
Span
S
{\displaystyle \operatorname {Span} S}
S
{\displaystyle S}
S
{\displaystyle S}
s
∈
Span
(
S
∖
{
s
}
)
{\displaystyle s\in \operatorname {Span} (S\setminus \{s\})}
s
∈
S
{\displaystyle s\in S}
S
{\displaystyle S}
선형 독립 집합 기저
선택 공리 를 가정하면, 모든 벡터 공간은 하나 이상의 기저를 가지며, 모든 기저들은 항상 같은 크기 를 갖는다. 벡터 공간
V
{\displaystyle V}
차원 (次元, 영어 : dimension )
dim
V
∈
Card
{\displaystyle \dim V\in \operatorname {Card} }
두 벡터 공간 사이의 선형 변환 가역 선형 변환이 존재한다면, 그 두 벡터 공간이 서로 동형 이라고 한다. 주어진 두 벡터 공간 사이의 선형 변환의 집합은 점별 벡터 덧셈과 점별 스칼라 곱셈에 의하여 벡터 공간을 이룬다. 두 유한 차원 벡터 공간 사이의 선형 변환은 주어진 기저에 대한 행렬 로 나타낼 수 있다.
같은 체
K
{\displaystyle K}
선분과 벡터 공간 체
K
{\displaystyle K}
V
{\displaystyle V}
W
{\displaystyle W}
V
{\displaystyle V}
동치 관계 를 정의할 수 있다.
v
∼
w
⟺
v
−
w
∈
W
{\displaystyle v\sim w\iff v-w\in W}
이 동치 관계에 대한 동치류 는 다음과 같다.
[
v
]
∼
=
v
+
W
=
{
v
+
w
:
w
∈
W
}
(
v
∈
V
)
{\displaystyle [v]_{\sim }=v+W=\{v+w\colon w\in W\}\qquad (v\in V)}
몫공간 (몫空間, 영어 : quotient space )
V
/
W
{\displaystyle V/W}
몫집합 (=동치류들의 집합)이다.
V
/
W
=
{
v
+
W
:
v
∈
V
}
{\displaystyle V/W=\{v+W\colon v\in V\}}
그 위의 벡터 공간 연산은 다음과 같다.
(
v
+
W
)
+
(
w
+
W
)
=
(
v
+
w
)
+
W
{\displaystyle (v+W)+(w+W)=(v+w)+W}
a
⋅
(
v
+
W
)
=
a
⋅
v
+
W
{\displaystyle a\cdot (v+W)=a\cdot v+W}
이 정의는 동치류의 대표원을 선택하는 방식과 무관하다. 또한, 이들 연산은 집합으로서의 연산과 일치하지 않는다.
이 부분의 본문은
직접곱 입니다.
K
{\displaystyle K}
{
V
i
}
i
∈
I
{\displaystyle \{V_{i}\}_{i\in I}}
직접곱
∏
i
∈
I
V
i
{\displaystyle \prod _{i\in I}V_{i}}
은 집합으로서
V
i
{\displaystyle V_{i}}
곱집합 이다. 이 위에는 자연스러운
K
{\displaystyle K}
(
a
i
)
i
∈
I
+
(
b
i
)
i
∈
I
=
(
a
i
+
b
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (a_{i})_{i\in I}+(b_{i})_{i\in I}=(a_{i}+b_{i})_{i\in I}}
c
⋅
(
a
i
)
i
∈
I
=
(
c
⋅
a
i
)
i
∈
I
{\displaystyle c\cdot (a_{i})_{i\in I}=(c\cdot a_{i})_{i\in I}}
이는 벡터 공간의 범주에서의 곱 이며, 대수 구조 로서의 직접곱 이다. 즉, 자연스러운 사영 사상
π
i
:
∏
i
∈
I
V
i
→
V
i
{\displaystyle \pi _{i}\colon \prod _{i\in I}V_{i}\to V_{i}}
이 존재하며, 이는 선형 변환 을 이룬다.
이 부분의 본문은
직합 입니다.
K
{\displaystyle K}
{
V
i
}
i
∈
I
{\displaystyle \{V_{i}\}_{i\in I}}
직합
⨁
i
∈
I
V
i
=
{
a
∈
∏
i
∈
I
V
i
:
|
{
i
∈
I
:
a
i
≠
0
}
|
<
ℵ
0
}
⊆
∏
i
∈
I
V
i
{\displaystyle \bigoplus _{i\in I}V_{i}=\left\{a\in \prod _{i\in I}V_{i}\colon |\{i\in I\colon a_{i}\neq 0\}|<\aleph _{0}\right\}\subseteq \prod _{i\in I}V_{i}}
즉, 직접곱에서, 오직 유한 개의 성분만 0이 아닌 원소들로 구성된 부분 집합이다. 이는 벡터 공간의 범주에서의 쌍대곱 이며, 가군의 직합 의 특수한 경우이다. 즉, 자연스러운 포함 사상
ι
i
:
V
i
↪
⨁
i
∈
I
V
i
{\displaystyle \iota _{i}\colon V_{i}\hookrightarrow \bigoplus _{i\in I}V_{i}}
가 존재하며, 따라서 각
V
i
{\displaystyle V_{i}}
⨁
i
∈
I
V
i
{\displaystyle \bigoplus _{i\in I}V_{i}}
유한 직합은 직접곱과 같으나, 무한 직합은 일반적으로 직접곱의 부분 공간이다. 만약
S
i
⊂
V
i
{\displaystyle S_{i}\subset V_{i}}
V
i
{\displaystyle V_{i}}
기저 라면,
⋃
i
∈
I
ι
i
(
S
i
)
⊂
⨁
i
∈
I
V
i
{\displaystyle \bigcup _{i\in I}\iota _{i}(S_{i})\subset \bigoplus _{i\in I}V_{i}}
는
⨁
i
∈
I
V
i
{\displaystyle \bigoplus _{i\in I}V_{i}}
dim
⨁
i
∈
I
V
i
=
∑
i
∈
I
dim
V
i
{\displaystyle \dim \bigoplus _{i\in I}V_{i}=\sum _{i\in I}\dim V_{i}}
이다. 여기서 우변은 기수 의 합이다.
K
{\displaystyle K}
{
V
i
}
i
∈
I
{\displaystyle \{V_{i}\}_{i\in I}}
텐서곱
⨂
i
∈
I
V
i
=
Free
(
∏
i
∈
I
V
i
)
/
∼
{\displaystyle \bigotimes _{i\in I}V_{i}=\operatorname {Free} \left(\prod _{i\in I}V_{i}\right)/\sim }
이 존재한다. 이는 자연스러운 다중 선형 사상
ϕ
:
∏
i
∈
I
V
i
→
⨂
i
∈
I
V
i
{\displaystyle \phi \colon \prod _{i\in I}V_{i}\to \bigotimes _{i\in I}V_{i}}
을 가지며, 또한 임의의 다른 다중 선형 사상
χ
=
∏
i
∈
I
V
i
→
W
{\displaystyle \chi =\prod _{i\in I}V_{i}\to W}
이 주어졌을 때, 유일한 선형 사상
χ
~
:
⨂
i
∈
I
V
i
→
W
{\displaystyle {\tilde {\chi }}\colon \bigotimes _{i\in I}V_{i}\to W}
χ
~
∘
ϕ
=
χ
{\displaystyle {\tilde {\chi }}\circ \phi =\chi }
가 존재한다. 텐서곱은 이 보편 성질 로부터 유일하게 정의되며, 또 항상 존재한다.[ 4]
임의의 두 벡터 공간
V
{\displaystyle V}
W
{\displaystyle W}
dim
(
V
⊗
W
)
=
dim
V
⋅
dim
W
{\displaystyle \dim(V\otimes W)=\dim V\cdot \dim W}
여기서
⋅
{\displaystyle \cdot }
기수 의 곱셈이다.
체
K
{\displaystyle K}
K
{\displaystyle K}
즉, 체 위에서는 모든 가군 이 자유 가군 이 된다.
체
K
{\displaystyle K}
V
{\displaystyle V}
집합의 크기 는 다음과 같다.
|
V
|
=
{
|
K
|
dim
K
V
κ
<
ℵ
0
max
{
|
K
|
,
dim
K
V
}
κ
≥
ℵ
0
{\displaystyle |V|={\begin{cases}|K|^{\dim _{K}V}&\kappa <\aleph _{0}\\\max\{|K|,\dim _{K}V\}&\kappa \geq \aleph _{0}\end{cases}}}
체
K
{\displaystyle K}
선형 변환 들은 범주 를 이루며,
Vect
K
{\displaystyle \operatorname {Vect} _{K}}
아벨 범주 의 대표적인 예이다.
Vect
K
{\displaystyle \operatorname {Vect} _{K}}
완비 범주 이며, 쌍대 완비 범주 이다.
곱 은 (아벨 군으로서의) 직접곱 이며, 쌍대곱 은 (아벨 군으로서의) 직합 이다.(유한) 곱 과 쌍대곱 이 일치한다.
영 대상 은 0차원 벡터 공간
{
0
}
{\displaystyle \{0\}}
직합 말고도, 텐서곱
V
⊗
W
{\displaystyle V\otimes W}
Vect
K
{\displaystyle \operatorname {Vect} _{K}}
대칭 모노이드 범주 를 이룬다. 텐서곱의 항등원은 1차원 벡터 공간
K
{\displaystyle K}
집합으로의 망각 함자
F
:
Vect
K
→
Set
{\displaystyle F\colon \operatorname {Vect} _{K}\to \operatorname {Set} }
(
V
,
+
,
⋅
)
↦
V
{\displaystyle (V,+,\cdot )\mapsto V}
구체적 범주 를 이룬다. 망각 함자는 왼쪽 수반 함자
Span
⊣
F
{\displaystyle \operatorname {Span} \dashv F}
Span
{\displaystyle \operatorname {Span} }
S
{\displaystyle S}
|
S
|
{\displaystyle |S|}
모형 이론 의 관점에서, 체
K
{\displaystyle K}
대수 구조 로 나타낼 수 있다. 이 경우, 벡터 공간의 언어는 다음과 같은 연산을 갖는다.
0항 연산
0
{\displaystyle 0}
영벡터 )
각
a
∈
K
{\displaystyle a\in K}
a
⋅
{\displaystyle a\cdot }
2항 연산
+
{\displaystyle +}
즉, 만약
K
{\displaystyle K}
대수 구조 다양체 를 이룬다. 벡터 공간의 준동형 은 선형 변환 이며, 벡터 공간의 부분 대수는 부분 벡터 공간이다. 합동 관계 는 부분 벡터 공간과 일대일 대응 하며, 주어진 합동 관계에 대응하는 부분 공간은 0과 합동인 벡터들의 집합이다. 특이하게도, 모든 벡터 공간은 자유 대수이다.
유클리드 공간
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
n
{\displaystyle n}
체
K
{\displaystyle K}
m
×
n
{\displaystyle m\times n}
행렬 의 집합은
m
n
{\displaystyle mn}
K
{\displaystyle K}
임의의 위상 공간
X
{\displaystyle X}
연속 실함수의 집합
C
(
X
,
R
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}(X,\mathbb {R} )}
체
K
{\displaystyle K}
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
V
{\displaystyle V}
f
:
X
→
V
{\displaystyle f\colon X\to V}
F
{\displaystyle F}
V
{\displaystyle V}
|
X
|
{\displaystyle |X|}
직접곱
V
×
|
X
|
{\displaystyle V^{\times |X|}}
체
K
{\displaystyle K}
다항식환
K
[
x
]
{\displaystyle K[x]}
형식적 거듭제곱 급수 환
F
[
[
x
]
]
{\displaystyle F[[x]]}
K
{\displaystyle K}
임의의 체의 확대
L
/
K
{\displaystyle L/K}
L
{\displaystyle L}
K
{\displaystyle K}
유한체
F
p
n
{\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}}
F
p
{\displaystyle \mathbb {F} _{p}}
n
{\displaystyle n}
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
2
ℵ
0
{\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}
모든 대수적 수체 는
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
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![{\displaystyle [v]_{\sim }=v+W=\{v+w\colon w\in W\}\qquad (v\in V)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e89532f134c9b731f111e9ae6565f7d6b8368af)
![{\displaystyle K[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a9e6c2ac2830d6a9abe078b47450777c41d69a9)
![{\displaystyle F[[x]]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fef5b0ebc9d37ad4cdc4048b314a1832bb0b0a18)
