환론 에서 사영 가군 (射影加群, 영어 : projective module )은 자유 가군 을 직합 으로 분해하였을 때의 한 성분으로 나타낼 수 있는 가군 이다. 가군의 범주 에서의 사영 대상 이다.
환
R
{\displaystyle R}
위의 왼쪽 가군
P
{\displaystyle P}
에 대하여 다음 조건들이 서로 동치 이며, 이를 만족시키는 가군을 사영 왼쪽 가군 이라고 한다.
모든 짧은 완전열
0
→
M
→
N
→
P
→
0
{\displaystyle 0\to M\to N\to P\to 0}
가 분할 완전열 이다.
P
⊕
Q
{\displaystyle P\oplus Q}
가 자유 가군 인 왼쪽 가군
Q
{\displaystyle Q}
가 존재한다.
함자
hom
(
P
,
−
)
:
R
-Mod
→
Ab
{\displaystyle \hom(P,-)\colon R{\text{-Mod}}\to \operatorname {Ab} }
가 완전 함자 이다. 여기서
Ab
{\displaystyle \operatorname {Ab} }
는 아벨 군 들의 범주이다.
모든 가군 준동형
f
:
P
→
M
{\displaystyle f\colon P\to M}
및 전사 가군 준동형
π
:
M
~
↠
M
{\displaystyle \pi \colon {\tilde {M}}\twoheadrightarrow M}
에 대하여,
π
∘
f
~
=
f
{\displaystyle \pi \circ {\tilde {f}}=f}
인 가군 준동형사상
f
~
:
P
→
M
~
{\displaystyle {\tilde {f}}\colon P\to {\tilde {M}}}
이 존재한다. (그러나 이는 유일할 필요가 없다. 즉, 보편 성질 이 아니다.)
P
∃
↙
↓
M
~
→
M
→
0
{\displaystyle {\begin{matrix}&&P\\&{\scriptstyle \exists }\swarrow &\downarrow \\{\tilde {M}}&\to &M&\to &0\end{matrix}}}
마찬가지로, 오른쪽 가군 에 대하여 사영 오른쪽 가군 을 정의할 수 있다.
가환환
R
{\displaystyle R}
위의 가군
M
{\displaystyle M}
이 다음 조건을 만족시킨다면 점별 자유 가군 (영어 : pointwise free module )이라고 한다.
모든 소 아이디얼
p
∈
Spec
R
{\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R}
에 대하여
R
p
⊗
R
M
{\displaystyle R_{\mathfrak {p}}\otimes _{R}M}
은
R
p
{\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}
-자유 가군 이다.
가환환
R
{\displaystyle R}
위의 가군
M
{\displaystyle M}
이 다음 조건을 만족시킨다면 국소 자유 가군 (영어 : locally free module )이라고 한다.
모든 소 아이디얼
p
∈
Spec
R
{\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R}
에 대하여,
R
f
⊗
R
M
{\displaystyle R_{f}\otimes _{R}M}
가
R
f
{\displaystyle R_{f}}
-자유 가군 이 되는
f
∈
R
∖
p
{\displaystyle f\in R\setminus {\mathfrak {p}}}
가 존재한다.
이 개념들은 가군층 에 대하여 일반화할 수 있다. 일반적으로, 환 달린 공간
(
X
,
O
X
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}
위의
O
X
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}
-가군층
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
가 다음 조건을 만족시킨다면, 점별 자유 가군층 (영어 : pointwise free sheaf of modules )이라고 한다.
모든 점
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
에 대하여 줄기
F
x
{\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}}
는
O
X
,
x
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}
-자유 가군 이다.
환 달린 공간
(
X
,
O
X
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}
위의
O
X
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}
-가군층
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
가 다음 조건을 만족시킨다면, 국소 자유 가군층 (局所自由加群層, 영어 : locally free sheaf of modules , 프랑스어 : faisceau de modules localement libre )이라고 한다.[ 1] :48, (5.4.1)
모든 점
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
에 대하여,
F
|
U
≅
O
X
⊕
κ
|
U
{\displaystyle {\mathcal {F}}|_{U}\cong {\mathcal {O}}_{X}^{\oplus \kappa }|_{U}}
가 되는 열린 근방
U
∋
x
{\displaystyle U\ni x}
및 기수
κ
{\displaystyle \kappa }
가 존재한다.
스킴
Y
{\displaystyle Y}
위의, 계수
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
의 대수적 벡터 다발 (영어 : algebraic vector bundle )은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
스킴
E
{\displaystyle E}
스킴 사상
π
:
E
→
Y
{\displaystyle \pi \colon E\to Y}
열린 덮개
U
{\displaystyle {\mathcal {U}}}
각
U
∈
U
{\displaystyle U\in {\mathcal {U}}}
에 대하여, 스킴 동형 사상
i
U
:
f
−
1
(
U
)
→
A
U
n
=
A
Z
n
×
U
{\displaystyle i_{U}\colon f^{-1}(U)\to \mathbb {A} _{U}^{n}=\mathbb {A} _{\mathbb {Z} }^{n}\times U}
이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
임의의
U
,
V
∈
U
{\displaystyle U,V\in {\mathcal {U}}}
및 임의의 아핀 열린집합
Spec
R
↪
U
∩
V
{\displaystyle \operatorname {Spec} R\hookrightarrow U\cap V}
에 대하여,
i
V
∘
i
U
−
1
:
A
Spec
R
n
→
A
Spec
R
n
{\displaystyle i_{V}\circ i_{U}^{-1}\colon \mathbb {A} _{\operatorname {Spec} R}^{n}\to \mathbb {A} _{\operatorname {Spec} R}^{n}}
는 어떤
R
{\displaystyle R}
-선형 변환
T
U
,
V
,
R
∈
Mat
(
n
,
n
;
R
)
{\displaystyle T_{U,V,R}\in \operatorname {Mat} (n,n;R)}
에 의하여 유도된다.
Y
{\displaystyle Y}
위의 대수적 벡터 다발의 동형 사상
ϕ
:
(
E
,
π
,
U
,
i
)
→
(
E
′
,
π
,
U
′
,
i
′
)
{\displaystyle \phi \colon (E,\pi ,{\mathcal {U}},i)\to (E',\pi ,{\mathcal {U}}',i')}
은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
Y
{\displaystyle Y}
-스킴의 동형 사상
ϕ
:
E
→
E
′
{\displaystyle \phi \colon E\to E'}
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
(
E
,
π
,
U
∪
U
′
,
(
i
,
i
′
)
)
{\displaystyle (E,\pi ,{\mathcal {U}}\cup {\mathcal {U}}',(i,i'))}
는 대수적 벡터 다발을 이룬다. 즉, 임의의
U
∈
U
{\displaystyle U\in {\mathcal {U}}}
,
U
′
∈
U
′
{\displaystyle U'\in {\mathcal {U}}'}
및
Spec
R
↪
U
∩
U
′
{\displaystyle \operatorname {Spec} R\hookrightarrow U\cap U'}
에 대하여,
i
U
′
∘
i
U
−
1
:
A
R
n
→
A
R
n
{\displaystyle i_{U'}\circ i_{U}^{-1}\colon \mathbb {A} _{R}^{n}\to \mathbb {A} _{R}^{n}}
는 어떤
Mat
(
n
,
n
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {Mat} (n,n;R)}
의 원소에 의하여 유도된다.
이 경우, 계수
n
{\displaystyle n}
의 대수적 벡터 다발의 개념은 계수
n
{\displaystyle n}
의 국소 자유 가군층의 개념과 동치 이다.[ 2] :128–129, Exercise Ⅱ.5.18 구체적으로, 대수적 벡터 다발
π
:
E
→
Y
{\displaystyle \pi \colon E\to Y}
에 대응되는 가군층은 다음과 같다.
Γ
(
E
,
U
)
=
{
s
:
U
→
E
:
π
∘
s
=
id
U
}
(
U
∈
Open
(
Y
)
)
{\displaystyle \Gamma (E,U)=\{s\colon U\to E\colon \pi \circ s=\operatorname {id} _{U}\}\qquad (U\in \operatorname {Open} (Y))}
(비가환일 수 있는, 1을 갖는) 환
R
{\displaystyle R}
위의 왼쪽 가군
R
M
{\displaystyle _{R}M}
에 대하여 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
자유 가군 ⊂ 사영 가군 ⊂ 평탄 가군 ⊂ 꼬임 없는 가군
국소 가환환 이나 주 아이디얼 정역 의 경우, 모든 사영 가군은 자유 가군이다.
가환환 위의 가군 에 대하여 다음 함의 관계가 성립한다.
사영 가군 ⊂ 점별 자유 가군
국소 자유 가군 ⊂ 점별 자유 가군
가환환 위의 유한 생성 가군 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치 이다.
세르-스완 정리 에 따르면, 가환환
R
{\displaystyle R}
위의 유한 생성 사영 가군의 범주는
Spec
(
R
)
{\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}
위의 유한 계수 국소 자유 가군층들의 범주와 동치 이다.
가환환 위의 유한 표시 가군 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치 이다.
국소 자유 가군이다.
점별 자유 가군이다.
사영 가군이다.
평탄 가군 이다.
특히, 뇌터 가환환 위의 모든 유한 생성 가군 은 유한 표시 가군 이므로, 이 경우 위 조건들이 서로 동치 이게 된다.
점별 자유 가군층
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
의
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
에서의 계수 (영어 : rank )는
O
X
,
x
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}
-자유 가군
F
x
{\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}}
의 계수이며, 이는 함수
dim
M
:
X
→
Card
{\displaystyle \dim M\colon X\to \operatorname {Card} }
를 정의한다. (여기서
Card
{\displaystyle \operatorname {Card} }
는 모든 기수 의 모임 이다.)
Card
{\displaystyle \operatorname {Card} }
(의 충분히 큰 부분 집합 )에 이산 위상 을 부여하였을 때, 만약
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
가 국소 자유 가군층이라면 계수 함수
dim
M
:
X
→
Card
{\displaystyle \dim M\colon X\to \operatorname {Card} }
는 (정의에 따라) 연속 함수 이다.