형식적 멱급수

(형식적 거듭제곱 급수에서 넘어옴)

대수학에서 형식적 멱급수(形式的冪級數, 영어: formal power series)는 수렴할 필요가 없는 멱급수이다.

정의

환 $R$ 에 대한 형식적 멱급수환 $R[[x]]$ 는 집합으로서 $R^{\mathbb {N} }$ 이다. 형식적 멱급수환에서, 원소

(r_{0},r_{1},r_{2},\dots )

는 통상적으로

\sum _{n=0}^{\infty }r_{n}x^{n}=r_{0}+r_{1}x+r_{2}x^{2}+\cdots

으로 쓴다.

$R^{\mathbb {N} }$ 위에는 자연스러운 아벨 군 및 좌·우 $R$ -가군 구조가 존재한다. 또한, 다음과 같은 곱셈을 정의하여, 환으로 만들 수 있다.

\left(\sum _{n=0}^{\infty }r_{n}x^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }s_{n}x^{n}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}r_{k}s_{n-k}x^{n}

이에 따라 $R[[x]]$ 는 결합 $R$ -대수를 이룬다.

형식적 멱급수환의 원소를 형식적 멱급수라고 한다. $R[[x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}]]$ 은 $R[[x_{1}]][[x_{2}]]\cdots [[x_{n}]]$ 을 뜻한다.

미분

형식적 멱급수환 위에는 다음과 같은 $R$ -선형 연산

D\colon R[[x]]\to R[[x]]

D\colon \sum _{n=0}^{\infty }r_{n}x^{n}\mapsto \sum _{n=0}^{\infty }nr_{n}x^{n-1}

이 존재하며, 이를 미분이라고 한다.

합성

임의의 $a,b\in R[[x]]$ 가 주어졌고, $b_{0}=0$ 이라고 하자 (즉, $b\in (x)$ ). 그렇다면 $a$ 와 $b$ 의 합성 $a\circ b\in R[[x]]$ 은 다음과 같다.

a\circ b=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{j\in (\mathbb {Z} ^{+})^{k}}^{j_{1}+\cdots +j_{k}=n}a_{k}b_{j_{1}}b_{j_{2}}\cdots b_{j_{k}}x^{n}

만약 $R$ 가 가환환이라면, 합성의 결합 법칙이 성립한다. 하지만 가환환이 아닌 환에서는 일반적으로 성립하지 않는다.

성질

환 $R$ 에 대하여,

만약 $R$ 가 가환환이라면, $R[[x]]$ 역시 가환환이다.
만약 $R$ 가 가환 뇌터 환이라면, $R[[x]]$ 역시 가환 뇌터 환이다.
만약 $R$ 가 정역이라면, $R[[x]]$ 역시 정역이다.
만약 $R$ 가 체라면, $R[[x]]$ 는 이산 값매김환이다.

형식적 멱급수환의 원소

a=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\in R[[x]]

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$a\in R[[x]]$ 는 가역원이다.
$a_{0}\in R$ 는 가역원이다.

구체적으로, $a$ 의 역은 다음과 같이 재귀적으로 정의된다.

(a^{-1})_{0}=a_{0}^{-1}

(a^{-1})_{n}=-a_{0}^{-1}\sum _{i=1}^{n}a_{i}(a^{-1})_{n-i}=-\sum _{i=1}^{n}(a^{-1})_{n-i}a_{i}a_{0}^{-1}\qquad (n\geq 1)

거리 공간 구조

형식적 멱급수환 $R[[x]]$ 위에 다음과 같은 거리 함수를 정의할 수 있다.

d(a,b)=2^{-\min\{n\in \mathbb {N} \colon a_{n}\neq b_{n}\}}\qquad (a\neq b)

형식적 멱급수환은 이 거리 함수에 대하여 완비 거리 공간을 이루며, 또한 위상환을 이룬다.^[1]^{:132, §III.7, Exercise 5} 이는 다항식환 $R[x]$ 의 완비화이다.^[1]^{:132, §III.7, Exercise 6}

이 거리 공간 구조 아래, 임의의 형식적 멱급수

a=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\in R[[x]]

는 부분합의 점렬

(a_{0},a_{0}+a_{1}x,a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2},\dots )

의 극한이다.

형식적 로랑 급수

체 $K$ 에 대하여, 형식적 로랑 급수체 $K((x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}))$ 은 형식적 멱급수환의 분수체이다.

K((x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}))=\operatorname {Frac} (K[[x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}]])=\operatorname {Frac} (K[[x_{1}]][[x_{2}]]\cdots [[x_{n}]])

정의에 따라, 이는 체를 이룬다. 구체적으로, $p\in K((x))$ 는

p=\sum _{i=m}^{\infty }p_{i}x^{i}

의 꼴로 전개할 수 있다 ( $m\in \mathbb {Z}$ ). 즉, 유한 개의 음의 차수의 항을 가질 수 있다. 이는 (무한 개의 음의 차수의 항을 가질 수 있는) 복소해석학의 로랑 급수와 다르다.

다항식환, 유리 함수체, 형식적 멱급수환에서는

K[x][y]\cong K[x,y]

K(x)(y)\cong K(x,y)

K[[x]][[y]]\cong K[[x,y]]

가 성립하지만, $K((x,y))$ 와 $K((x))((y))$ 는 서로 다른 체이다. 일반적으로, $K((x,y))$ 는 $K(x)((y))$ 의 부분환이며, 단사 준동형

K((x,y)){\stackrel {\iota _{x}}{\hookrightarrow }}K(x)((y))\hookrightarrow K((x))((y))

K((x,y)){\stackrel {\iota _{y}}{\hookrightarrow }}K(y)((x))\hookrightarrow K((y))((x))

이 존재한다. 예를 들어,

\iota _{x}\colon {\frac {1}{x-y}}\mapsto x^{-1}+x^{-2}y+x^{-3}y^{2}+\cdots \in K(x)((y))

\iota _{y}\colon {\frac {1}{x-y}}\mapsto -y^{-1}-y^{-2}x-y^{-3}x^{2}-\cdots \in K(y)((x))

이다. 그러나 $\iota _{x}$ 및 $\iota _{y}$ 는 동형 사상이 아니다. 예를 들어,

\sum _{n=0}^{\infty }x^{-n^{2}}y^{n}\in K(x)((y))\setminus \iota _{x}(K((x,y)))

이다.^[2]

같이 보기

각주

↑ ^가 ^나 Grillet, Pierre Antoine (2007). 《Abstract Algebra》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 242 2판. New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-0-387-71568-1. ISBN 978-0-387-71567-4. ISSN 0072-5285. LCCN 2007928732.
↑ “Explicit elements of K((x))((y))∖K((x,y))” (영어). Math Overflow. 2015년 2월 6일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 2월 6일에 확인함.

외부 링크

Weisstein, Eric Wolfgang. “Formal power series”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.

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