정역
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가환대수학에서 정역(整域, 영어: integral domain)은 영인자가 존재하지 않는, 자명환이 아닌 가환환이다. 정역은 정수환의 일반화이며, 0이 아닌 원소의 역원을 추가하여 분수체를 만들 수 있다.
정의
편집임의의 환 의 원소 에 대하여, 가 단사 함수일 경우 를 정칙원(正則元素, 영어: regular element)이라고 한다.
(곱셈 항등원을 갖는) 가환환 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 가환환을 정역이라고 한다.
- 는 다음 두 조건을 만족시킨다.
- 이 곱셈에 대하여 (공집합이 아닌) 가환 모노이드를 이룬다.
- 의 영 아이디얼이 소 아이디얼이다.
- 는 체의 부분환과 동형이다.
- 는 자명환이 아니며, 의 0이 아닌 모든 원소가 정칙원이다.
스킴 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 스킴을 정역 스킴(整域scheme, 영어: integral scheme, 프랑스어: schéma intègre)이라고 한다.
성질
편집다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
- 가환환 ⊋ 정역 ⊋ 정수적으로 닫힌 정역 ⊋ 크룰 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∪ 데데킨트 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∩ 데데킨트 정역 = 주 아이디얼 정역 ⊋ 유클리드 정역 ⊋ 체
정역의 환의 표수는 0이거나 아니면 소수이다. 양의 표수 의 정역의 경우, 프로베니우스 사상 은 단사 함수이다.
정역의 경우, 항상 분수체를 취할 수 있다.
가환환 및 아이디얼 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
- 가 소 아이디얼이다.
- 가 정역이다.
정역의 귀납적 극한은 역시 정역이다.
가환환 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]:82, Example II.3.0.1[2]:65
- 는 정역이다.
- 아핀 스킴 는 정역 스킴이다.
예
편집정수환 은 정역을 이룬다. 모든 체는 정역을 이룬다. 모든 대수적 수체의 대수적 정수환 은 (데데킨트) 정역이다.
정수환의 몫환 의 경우, 이지만 이므로 정역이 아니다.
모든 대수다양체는 정역 스킴이다.
같이 보기
편집각주
편집- ↑ 가 나 다 Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001.
- ↑ 가 나 Liu, Qing (2006년 6월 29일). 《Algebraic geometry and arithmetic curves》. Oxford Graduate Texts in Mathematics (영어) 6. Reinie Erne 역 2판. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-920249-2. MR 1917232. Zbl 1103.14001. 2016년 3월 5일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 3월 3일에 확인함.
- Lang, Serge (2002). 《Algebra》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 211 3판. Springer. doi:10.1007/978-1-4613-0041-0. ISBN 978-1-4612-6551-1. ISSN 0072-5285. MR 1878556. Zbl 0984.00001.
외부 링크
편집- “Integral domain”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Integral domain”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Irreducible element”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- “Definition: Integral Domain”. 《ProofWiki》 (영어).
- “Equivalence of Definitions of Integral Domain”. 《ProofWiki》 (영어).
- “Definition: Irreducible”. 《ProofWiki》 (영어). 2013년 3월 16일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 8월 28일에 확인함.
- “Definition: Trivial Factorization”. 《ProofWiki》 (영어).
- “Integral domain”. 《nLab》 (영어).
- “Integral scheme”. 《nLab》 (영어).
- “Irreducible element”. 《Commalg》 (영어).
- “Irreducible element not implies prime”. 《Commalg》 (영어).