환론 에서 영인자 (零因子, 영어 : zero divisor )는 0이 아닌 원소와 곱해서 0이 되는 환 의 원소이다. 0은 모든 비자명환 에서 영인자다. 0이 아닌 영인자는 정수환 에는 존재하지 않지만, 다른 환에서는 존재할 수 있다.
모노이드
R
{\displaystyle R}
M
{\displaystyle M}
작용 할 때,
임의의 원소
r
∈
R
{\displaystyle r\in R}
r
⋅
:
M
→
M
{\displaystyle r\cdot \colon M\to M}
단사 함수 가 아니라면
r
{\displaystyle r}
M
{\displaystyle M}
영인자 라고 한다.
임의의 원소
r
∈
R
{\displaystyle r\in R}
r
⋅
:
M
→
M
{\displaystyle r\cdot \colon M\to M}
단사 함수 라면
r
{\displaystyle r}
M
{\displaystyle M}
정칙원 (영어 : regular element )라고 한다.
임의의 원소
r
∈
R
{\displaystyle r\in R}
r
⋅
:
M
→
M
{\displaystyle r\cdot \colon M\to M}
전사 함수 라면
r
{\displaystyle r}
M
{\displaystyle M}
가역원 영어 : invertible element )이라고 한다. 정칙원들의 집합을
Reg
R
(
M
)
{\displaystyle \operatorname {Reg} _{R}(M)}
R
{\displaystyle R}
모노이드는 스스로 위에 왼쪽·오른쪽에서 작용한다. 모노이드
R
{\displaystyle R}
왼쪽 영인자 는 스스로 위에 왼쪽에서 작용할 때의 영인자이다. 즉,
z
,
r
,
s
∈
R
{\displaystyle z,r,s\in R}
r
≠
s
{\displaystyle r\neq s}
z
r
=
z
s
{\displaystyle zr=zs}
라면
z
{\displaystyle z}
왼쪽 영인자 라고 한다. 마찬가지로, 모노이드
R
{\displaystyle R}
오른쪽 영인자 는 스스로 위에 오른쪽 쪽에서 작용할 때의 영인자이다. 즉,
z
,
r
,
s
∈
R
{\displaystyle z,r,s\in R}
r
≠
s
{\displaystyle r\neq s}
r
z
=
s
z
{\displaystyle rz=sz}
라면
z
{\displaystyle z}
오른쪽 영인자 라고 한다. 마찬가지로 왼쪽 가역원 과 오른쪽 가역원 을 정의할 수 있다. 양쪽 가역원은 항상 양쪽 정칙원이다. 그러나 왼쪽 가역원이 왼쪽 정칙원일 필요는 없다.
가환 모노이드 에서는 왼쪽 영인자·오른쪽 영인자·양쪽 영인자의 개념이 일치한다.
환 은 곱셈에 대하여 모노이드를 이루므로, 위 정의들을 적용시킬 수 있다.
구체적으로, 환
R
{\displaystyle R}
왼쪽 가군
R
M
{\displaystyle _{R}M}
영인자 는
r
m
=
0
{\displaystyle rm=0}
m
≠
0
{\displaystyle m\neq 0}
r
∈
R
{\displaystyle r\in R}
R
{\displaystyle R}
오른쪽 가군
M
R
{\displaystyle M_{R}}
영인자 는
m
r
=
0
{\displaystyle mr=0}
m
≠
0
{\displaystyle m\neq 0}
r
∈
R
{\displaystyle r\in R}
환
R
{\displaystyle R}
왼쪽·오른쪽 영인자 (-零因子, 영어 : left/right zero divisor )는 스스로의 왼쪽·오른쪽 가군으로서의 영인자이다. 즉,
R
{\displaystyle R}
r
s
=
0
{\displaystyle rs=0}
s
≠
0
{\displaystyle s\neq 0}
r
∈
R
{\displaystyle r\in R}
R
{\displaystyle R}
s
r
=
0
{\displaystyle sr=0}
s
≠
0
{\displaystyle s\neq 0}
r
∈
R
{\displaystyle r\in R}
왼쪽 영인자이자 오른쪽 영인자인 원소를 양쪽 영인자 (兩-零因子, 영어 : two-sided zero divisor )라고 한다. 왼쪽 영인자가 아니며 오른쪽 영인자도 아닌 원소를 정칙원 (正則元, 영어 : regular element )이라고 한다. 환
R
{\displaystyle R}
Reg
(
R
)
{\displaystyle \operatorname {Reg} (R)}
모노이드 를 이룬다.
가환환 에서는 왼쪽 영인자·오른쪽 영인자·양쪽 영인자의 개념이 일치한다.
자명환 은 자명하게 영인자를 갖지 않는다. 자명환 이 아닌 환 에서, 0은 항상 양쪽 영인자이다.
0이 아닌 왼쪽 영인자와 오른쪽 영인자가 존재하지 않으며 자명환 이 아닌 환 을 영역 이라고 하며, 만약 추가로 가환환 이라면 정역 이라고 한다.
모든 가역원 은 항상 정칙원이다. 환
R
{\displaystyle R}
u
∈
R
×
{\displaystyle u\in R^{\times }}
r
∈
R
{\displaystyle r\in R}
u
r
=
0
{\displaystyle ur=0}
0
=
u
−
1
0
=
u
−
1
u
r
=
r
{\displaystyle 0=u^{-1}0=u^{-1}ur=r}
r
u
=
0
{\displaystyle ru=0}
0
=
0
u
−
1
=
r
u
u
−
1
=
r
{\displaystyle 0=0u^{-1}=ruu^{-1}=r}
0이나 1이 아닌 임의의 멱등원 또는 멱영원 은 양쪽 영인자이다. 보다 일반적으로, 임의의 환
R
{\displaystyle R}
r
∈
R
{\displaystyle r\in R}
{
r
,
r
2
,
r
3
,
…
}
{\displaystyle \{r,r^{2},r^{3},\dots \}}
유한 집합 이며,
1
∉
{
r
,
r
2
,
r
3
,
…
}
{\displaystyle 1\not \in \{r,r^{2},r^{3},\dots \}}
r
{\displaystyle r}
유한환 에서 가역원 이 아닌 모든 원소는 영인자이다.
정수환
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
정역 에서는 0 이외의 영인자가 없다.
Z
×
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }
(
0
,
1
)
⋅
(
1
,
0
)
=
(
0
,
0
)
{\displaystyle (0,1)\cdot (1,0)=(0,0)}
3
×
4
≡
0
(
mod
6
)
{\displaystyle 3\times 4\equiv 0{\pmod {6}}}
몫환
Z
/
(
6
)
{\displaystyle \mathbb {Z} /(6)}
4
+
6
Z
{\displaystyle 4+6\mathbb {Z} }
행렬환
Mat
(
2
;
Z
)
{\displaystyle \operatorname {Mat} (2;\mathbb {Z} )}
(
1
1
2
2
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}}
(
1
1
2
2
)
⋅
(
1
1
−
1
−
1
)
=
(
−
2
1
−
2
1
)
⋅
(
1
1
2
2
)
=
(
0
0
0
0
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-2&1\\-2&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}}
몫환
Z
/
(
n
)
{\displaystyle \mathbb {Z} /(n)}
필요충분조건 은
n
{\displaystyle n}
합성수 인 것이다.
n
{\displaystyle n}
소수 일 때 이 환은 체 가 되는데, 이는 정역 보다 강한 조건이다. 
