환론에서 영역(領域, 영어: domain)은 0 밖의 영인자가 없는, 자명환이 아닌 환이다. 정역의 개념의 비가환환에 대한 일반화이다.

정의

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 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 영역이라고 한다.

  •  자명환이 아니며, 임의의  에 대하여, 만약  이라면  이거나  이다.
  • 영 아이디얼이 완전 소 아이디얼이다.
  • 왼쪽 영인자가 정확히 한 개 있다 (즉, 0).
  • 오른쪽 영인자가 정확히 한 개 있다 (즉, 0).

성질

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다음 함의 관계가 성립한다.[1]:153

정역
단순환 영역 축소환
左·右 원시환 소환 반소환

가환환의 경우, 이 함의는 다음과 같이 단순해진다.

정역
단순환 영역 축소환
左·右 원시환 소환 반소환

즉, 가환 영역은 정역이다.

웨더번 정리에 따라서, 유한환인 영역은 유한체밖에 없다.

모든 나눗셈환(유한체, 유리수체, 실수체, 복소수체, 사원수환)은 영역이다.

후르비츠 사원수(영어: Hurwitz quaternion)의 환

 

립시츠 사원수(영어: Lipschitz quaternion)의 환

 

역시 비가환 영역을 이룬다.

  위의 텐서 대수(자유 단위 결합 대수)  는 영역이며,  일 경우 비가환 영역이다.

표수가 0인 체   위의 바일 대수   역시 비가환 영역이다.

리 대수 위의 보편 포락 대수는 영역이며, 리 대수가 비아벨 리 대수인 경우 이는 비가환 영역이다.

임의의 환   및 양의 정수  에 대하여, 행렬환  는 영역이 아니다. (만약  가 자명환이 아니라면 이는 0이 아닌 왼쪽·오른쪽 영인자를 갖고, 만약  가 자명환이라면 행렬환 역시 자명환이다.)

군환의 영역성

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   에 대하여, 만약  꼬임 부분군이 자명하지 않을 경우 군환  는 0이 아닌 영인자를 가져 영역이 될 수 없다. 예를 들어, 만약  에 대하여  이라면,

 

이 된다.

일반적으로, 꼬임 부분군이 자명한 군에 대한 군환이 항상 영역이 되는지는 미해결 문제이다. 만약  가 꼬임 부분군이 자명한 가해군이라면 군환이 영역을 이룬다는 사실이 알려져 있다.

각주

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  1. Lam, Tsit-Yuen (2001). 《A first course in noncommutative rings》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 131 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4419-8616-0. ISBN 978-0-387-95183-6. ISSN 0072-5285. 

외부 링크

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같이 보기

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