가해군

군론에서 가해군(可解群, 영어: solvable group)은 아벨 군들만을 사용한 군의 확대로 나타낼 수 있는 군이다.

정의

어떤 군 $G$가 다음과 같은 꼴의 정규부분군열

$1=G_{0}\vartriangleleft G_{1}\vartriangleleft \cdots \vartriangleleft G_{k}=G$

을 가지고, 또한 모든 $G_{i+1}/G_{i}$가 아벨 군이라면 $G$를 가해군이라고 한다.

어떤 군 $G$가 다음과 같은 꼴의 정규부분군열

$1=G_{0}\vartriangleleft G_{1}\vartriangleleft \cdots \vartriangleleft G_{k}=G$

을 가지고, 또한

$G_{i}\vartriangleleft G$

이며 모든 $G_{i+1}/G_{i}$가 순환군이라면 $G$를 초가해군(超可解群, 영어: supersolvable group)이라고 한다. 모든 초가해군은 가해군이나, 그 역은 성립하지 않는다.

성질

군 $G$와 정규 부분군 $N\vartriangleleft G$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $G$는 가해군이다.
• $N$과 몫군 $G/N$은 모두 가해군이다.

가해군의 부분군은 가해군이다. 두 가해군의 반직접곱은 가해군이다. (특수한 경우로, 유한 개의 가해군의 직접곱은 가해군이다.) 두 가해군의 화환곱은 가해군이다.

예

모든 아벨 군은 (자명하게) 가해군이다. 모든 멱영군은 가해군이다.

가해 유한군

가해군이 아닌 가장 작은 군은 (크기가 60인) 교대군 $A_{5}$이다. 다시 말해, 크기가 59 이하인 모든 군은 가해군이다. 가해군이 아닌 군들의 가능한 크기는 다음과 같다. (OEIS의 수열 A056866)

60, 120, 168, 180, 240, 300, 336, 360, 420, 480, …

초가해군이 아닌 가장 작은 군은 (크기가 12인) 교대군 $A_{4}$이다. 초가해군이 아닌 군들의 가능한 크기는 다음과 같다. (OEIS의 수열 A066085)

12, 24, 36, 48, 56, 60, 72, 75, 80, 84, 96, 108, 112, 120, 132, …

주어진 크기의 초가해군의 수는 다음과 같다. (OEIS의 수열 A066083)

1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 5, 2, 2, 1, 4, 1, 2, 1, 14, …

즉, 예를 들어 크기가 4인 초가해군은 두 개(4차 순환군 및 클라인 4원군)가 있다.

파이트-톰프슨 정리에 따르면, 크기가 홀수인 모든 유한군은 가해군이다.

번사이드 정리에 따르면, 크기가

$p^{a}q^{b}$

의 꼴인 유한군은 가해군이다. 여기서 $p,q$는 소수이고, $a,b$는 음이 아닌 정수다.

가해 리 군

리 대수가 가해 리 대수인 연결 리 군은 가해군을 이룬다. 예를 들어, 실수 또는 복소수 상삼각 행렬들의 리 군은 가해 리 군이다.

모든 유한 차원 연결 가해 리 군은 유클리드 공간과 미분동형이다.

역사

가해군의 개념은 갈루아 이론에서 최초로 등장하였다. 갈루아 이론에서, 갈루아 군이 가해군인 갈루아 확대는 거듭제곱근으로 풀 수 있기 때문에 이러한 이름이 붙었다. 오늘날 가해군의 개념은 갈루아 이론뿐만 아니라 군론 전반적으로 널리 쓰인다.

같이 보기

• 가해 리 대수

참고 문헌

• Dummit, David S.; Richard M. Foote (2004). 《Abstract Algebra》 (영어) 3판. New York: Wiley. ISBN 978-0-471-43334-7.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

외부 링크

• 이철희. “가해군(solvable group)”. 《수학노트》. 
• “Solvable group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Supersolvable group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Lie group, solvable”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Lie group, supersolvable”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Solvable group”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Solvable Lie group”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.