갈루아 확대

갈루아 이론에서 갈루아 확대(Galois擴大, 영어: Galois extension)는 갈루아 군이 잘 정의될 수 있는 체의 확대이다.

정의

갈루아 확대는 다음 세 조건을 만족시키는 체의 확대이다.

• 대수적 확대이다.
• 정규 확대이다. 즉, 기약 다항식 $p\in K[x]$의 근 가운데 적어도 하나가 $L$에 포함된다면, $p$의 모든 근들이 $L$에 포함된다.
• 분해 가능 확대이다. 즉, 모든 $a\in L$에 대한 최소 다항식의 각 기약 인자들의 근들이 서로 겹치지 않는다.

성질

유한 확대 $L/K$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다. 이 정리는 에밀 아르틴이 증명하였다.

• $L/K$는 갈루아 확대이다.
• $L/K$는 정규 분해 가능 확대이다.
• $L$은 근이 겹치지 않는 (즉, 분해 가능한) 어떤 다항식 $p\in K[x]$의 분해체이다.
• $[L:K]=|\operatorname {Aut} (L/K)|$이다. 즉, 체의 확대의 차수 $[L:K]=\dim _{K}L$는 체의 확대의 자기동형군의 크기와 같다.

예

유리수체 $\mathbb {Q}$의 확대들을 생각하자.

• $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$는 갈루아 확대이다.
• $\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})$는 정규 확대가 아니므로 갈루아 확대가 아니다. 이는 $x^{3}-2\in \mathbb {Q} [x]$의 세 근 가운데 오직 하나만을 포함한다.
• $\mathbb {Q} (\pi )$는 대수적 확대가 아니므로 갈루아 확대가 아니다. 이는 원주율 $\pi$가 초월수이기 때문이다.

(유리수체는 완전체이므로, 유리수의 모든 대수적 확대는 분해 가능 확대이다.)

참고 문헌

• Bewersdorff, Jörg (2006). 《Galois Theory for Beginners: A Historical Perspective》 (영어). American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3817-2. 
• Lang, Serge (1994). 《Algebraic Number Theory》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94225-4. 
• Rotman, Joseph (1998). 《Galois Theory》 (영어) 2판. Springer. ISBN 0-387-98541-7.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
• Völklein, Helmut (1996). 《Groups as Galois groups: an introduction》 (영어). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-56280-5. 
• Funkhouser, H. Gray (1930). “A short account of the history of symmetric functions of roots of equations”. 《American Mathematical Monthly》 (영어) 37 (7): 357–365. doi:10.2307/2299273. JSTOR 2299273. 

외부 링크

• Postnikov, M.M. (2001). “Galois theory”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Galois extension”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Galois extension field”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Galois extension”. 《nLab》 (영어).