K
{\displaystyle K}
체 라고 하고,
p
(
x
)
∈
K
[
x
]
{\displaystyle p(x)\in K[x]}
n
{\displaystyle n}
다항식 이라고 하자. 그렇다면
p
{\displaystyle p}
K
{\displaystyle K}
분해체
L
/
K
{\displaystyle L/K}
K
{\displaystyle K}
확대 이다.
다항식
p
{\displaystyle p}
p
(
x
)
=
∏
i
=
1
deg
p
(
x
−
a
i
)
∈
L
[
x
]
{\displaystyle p(x)=\prod _{i=1}^{\deg p}(x-a_{i})\in L[x]}
인수 분해 된다.
L
{\displaystyle L}
체의 확대 가운데 그 차수가 가장 작다.이 성질은 만족시키는 체의 확대 는 (동형인 것을 제외하면) 유일함을 보일 수 있다.
체
K
{\displaystyle K}
기약 다항식
p
∈
K
[
x
]
{\displaystyle p\in K[x]}
체의 확대
L
/
K
{\displaystyle L/K}
L
≅
K
[
x
]
/
(
p
(
x
)
)
{\displaystyle L\cong K[x]/(p(x))}
여기서
(
p
(
x
)
)
{\displaystyle (p(x))}
p
(
x
)
{\displaystyle p(x)}
K
[
x
]
{\displaystyle K[x]}
소 아이디얼 이다.
K
[
x
]
{\displaystyle K[x]}
주 아이디얼 정역 이고, 주 아이디얼 정역에서 0이 아닌 모든 소 아이디얼은 극대 아이디얼 이며, 극대 아이디얼 에 대한 몫환 은 체 를 이루므로,
L
{\displaystyle L}
a
=
x
+
(
p
(
x
)
)
∈
L
{\displaystyle a=x+(p(x))\in L}
p
{\displaystyle p}
p
{\displaystyle p}
L
{\displaystyle L}
{
1
,
a
,
a
2
,
…
,
a
deg
p
−
1
}
⊆
L
{\displaystyle \{1,a,a^{2},\dotsc ,a^{\deg p-1}\}\subseteq L}
L
{\displaystyle L}
K
{\displaystyle K}
기저 를 이룬다. 그러나
L
/
K
{\displaystyle L/K}
p
{\displaystyle p}
이제, 체
K
{\displaystyle K}
n
{\displaystyle n}
다항식
p
∈
K
[
x
]
{\displaystyle p\in K[x]}
L
{\displaystyle L}
K
0
=
K
{\displaystyle K_{0}=K}
p
(
x
)
/
(
(
x
−
a
1
)
⋯
(
x
−
a
i
)
)
∈
K
i
[
x
]
{\displaystyle p(x)/((x-a_{1})\dotsm (x-a_{i}))\in K_{i}[x]}
f
i
(
x
)
∈
K
i
[
x
]
{\displaystyle f_{i}(x)\in K_{i}[x]}
K
i
+
1
=
K
i
[
x
]
/
(
f
i
(
x
)
)
{\displaystyle K_{i+1}=K_{i}[x]/(f_{i}(x))}
a
i
+
1
=
x
+
(
f
i
(
x
)
)
∈
K
i
+
1
{\displaystyle a_{i+1}=x+(f_{i}(x))\in K_{i+1}}
L
=
K
n
{\displaystyle L=K_{n}}
이는
f
i
{\displaystyle f_{i}}
![{\displaystyle p(x)\in K[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6a1593b7363ee2924833e9f3f3d40afdc877bf4)
![{\displaystyle p(x)=\prod _{i=1}^{\deg p}(x-a_{i})\in L[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4183f33bedff2a32ce900b2f6f703378d09ecb6b)
![{\displaystyle p\in K[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f209a0138930b769ca3c23906c6c4a33f547e78d)
![{\displaystyle L\cong K[x]/(p(x))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8637cc884c3f1e675236dff644da0726125925a1)
![{\displaystyle K[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a9e6c2ac2830d6a9abe078b47450777c41d69a9)
![{\displaystyle p(x)/((x-a_{1})\dotsm (x-a_{i}))\in K_{i}[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a82d4353a84a4da76cf552eaaf415a8e3e2303b0)
![{\displaystyle f_{i}(x)\in K_{i}[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32efd616be33ab11fe62d784b441e0805f16e4dd)
![{\displaystyle K_{i+1}=K_{i}[x]/(f_{i}(x))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f20f7007852945e8e4bb7be4a016c2faa5193b64)
![{\displaystyle \mathbb {C} \cong \mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/914cb149ff573c5b347b9081b353d1adb30bdd14)
![{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}},\exp(2\pi i/3))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e72ff3192d448703429ed6984bc278039ea286a)