멱결합 대수 의 원소가 최소 다항식을 가질 필요충분조건 은 대수적 원소 이다. 따라서 대수적 대수 (특히 유한 차원 대수)의 모든 원소는 최소 다항식을 갖는다.
체의 확대
L
/
K
{\displaystyle L/K}
L
{\displaystyle L}
K
{\displaystyle K}
단위 결합 대수 를 이룬다. 체의 확대에서, 최소 다항식은 항상 기약 다항식 이다. 귀류법 을 써서,
L
/
K
{\displaystyle L/K}
a
∈
L
{\displaystyle a\in L}
p
a
∈
K
[
x
]
{\displaystyle p_{a}\in K[x]}
p
a
=
q
r
{\displaystyle p_{a}=qr}
K
{\displaystyle K}
정역 이므로
q
(
a
)
=
0
{\displaystyle q(a)=0}
r
(
a
)
=
0
{\displaystyle r(a)=0}
deg
q
,
deg
r
<
deg
p
{\displaystyle \deg q,\deg r<\deg p}
p
a
{\displaystyle p_{a}}
J
a
{\displaystyle {\mathfrak {J}}_{a}}
대수적 확대
L
/
K
{\displaystyle L/K}
K
{\displaystyle K}
완전체 라면 임의의
a
∈
L
{\displaystyle a\in L}
p
a
(
x
)
∈
K
[
x
]
⊂
K
¯
[
x
]
{\displaystyle p_{a}(x)\in K[x]\subset {\bar {K}}[x]}
대수적 폐포
K
¯
{\displaystyle {\bar {K}}}
K
{\displaystyle K}
L
/
K
{\displaystyle L/K}
분해 가능 확대
체
K
{\displaystyle K}
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
정사각 행렬 의 유한 차원
K
{\displaystyle K}
단위 결합 대수
Mat
(
n
;
K
)
{\displaystyle \operatorname {Mat} (n;K)}
M
∈
Mat
(
n
;
K
)
{\displaystyle M\in \operatorname {Mat} (n;K)}
행렬의 닮음 에 대하여 불변이다. 즉, 가역 행렬
G
∈
GL
(
n
;
K
)
{\displaystyle G\in \operatorname {GL} (n;K)}
M
{\displaystyle M}
G
−
1
M
G
{\displaystyle G^{-1}MG}
L
{\displaystyle L}
K
{\displaystyle K}
M
{\displaystyle M}
Mat
(
n
;
K
)
{\displaystyle \operatorname {Mat} (n;K)}
Mat
(
n
;
L
)
{\displaystyle \operatorname {Mat} (n;L)}
체
K
{\displaystyle K}
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
M
∈
Mat
(
n
;
K
)
{\displaystyle M\in \operatorname {Mat} (n;K)}
M
{\displaystyle M}
M
{\displaystyle M}
삼각화 가능 행렬 이다.또한, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
M
{\displaystyle M}
M
{\displaystyle M}
대각화 가능 행렬 이다.케일리-해밀턴 정리 에 따라,
M
∈
Mat
(
n
;
K
)
{\displaystyle M\in \operatorname {Mat} (n;K)}
특성 다항식 을 나눈다. 또한 최소 다항식과 특성 다항식의 근의 집합은 (중복도를 무시하면) 일치한다. 보다 일반적으로,
M
∈
Mat
(
n
;
K
)
{\displaystyle M\in \operatorname {Mat} (n;K)}
소인수 분해 가
p
M
(
x
)
=
∏
p
p
n
p
(
x
)
{\displaystyle p_{M}(x)=\prod _{p}p^{n_{p}}(x)}
라면,
deg
p
∣
dim
ker
p
n
p
(
M
)
{\displaystyle \deg p\mid \dim \ker p^{n_{p}}(M)}
n
p
≤
dim
ker
p
n
p
(
M
)
/
deg
p
{\displaystyle n_{p}\leq \dim \ker p^{n_{p}}(M)/\deg p}
det
(
x
−
M
)
=
∏
p
p
dim
ker
p
n
p
(
M
)
/
deg
p
{\displaystyle \det(x-M)=\prod _{p}p^{\dim \ker p^{n_{p}}(M)/\deg p}}
이다.[ 2] :196, §6.3, (6-8); 237, §7.2, Theorem 4
체의 확대
L
/
K
{\displaystyle L/K}
a
∈
K
{\displaystyle a\in K}
p
a
(
x
)
=
x
−
a
∈
K
[
x
]
{\displaystyle p_{a}(x)=x-a\in K[x]}
실수체 의 확대인 복소수체
C
/
R
{\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {R} }
z
∈
C
{\displaystyle z\in \mathbb {C} }
p
z
(
x
)
=
{
x
−
z
z
∈
R
(
x
−
z
)
(
x
−
z
¯
)
=
x
2
−
2
(
z
+
z
¯
)
x
+
z
z
¯
z
∈
C
∖
R
{\displaystyle p_{z}(x)={\begin{cases}x-z&z\in \mathbb {R} \\(x-z)(x-{\bar {z}})=x^{2}-2(z+{\bar {z}})x+z{\bar {z}}&z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {R} \end{cases}}}
실수 행렬
M
=
(
1
2
0
0
2
0
−
2
−
2
−
1
)
∈
Mat
(
3
;
R
)
{\displaystyle M={\begin{pmatrix}1&2&0\\0&2&0\\-2&-2&-1\end{pmatrix}}\in \operatorname {Mat} (3;\mathbb {R} )}
의 특성 다항식은
det
(
x
−
M
)
=
(
x
+
1
)
(
x
−
1
)
(
x
−
2
)
{\displaystyle \det(x-M)=(x+1)(x-1)(x-2)}
이며, 이는 이미 중복되지 않는 1차 다항식들의 곱이다. 최소 다항식은 특성 다항식을 나누고 특성 다항식과 같은 근의 집합을 가져야 하므로,
M
{\displaystyle M}
p
M
(
x
)
=
(
x
+
1
)
(
x
−
1
)
(
x
−
2
)
{\displaystyle p_{M}(x)=(x+1)(x-1)(x-2)}
이다.
이차 수체
Q
(
d
)
/
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})/\mathbb {Q} }
d
{\displaystyle d}
제곱 인수가 없는 정수 라고 하자. 그렇다면
d
{\displaystyle {\sqrt {d}}}
x
2
−
d
∈
Q
[
x
]
{\displaystyle x^{2}-d\in \mathbb {Q} [x]}
2
+
3
{\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
p
2
+
3
(
x
)
=
x
4
−
10
x
2
+
1
=
(
x
−
2
−
3
)
(
x
+
2
−
3
)
(
x
−
2
+
3
)
(
x
+
2
+
3
)
{\displaystyle p_{{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}(x)=x^{4}-10x^{2}+1=(x-{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}})(x+{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}})(x-{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})(x+{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})}
원분체
Q
(
ζ
n
)
/
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})/\mathbb {Q} }
ζ
n
{\displaystyle \zeta _{n}}
원분 다항식
Φ
n
{\displaystyle \Phi _{n}}
Φ
1
(
x
)
=
x
−
1
{\displaystyle \Phi _{1}(x)=x-1}
Φ
2
(
x
)
=
x
+
1
{\displaystyle \Phi _{2}(x)=x+1}
Φ
3
(
x
)
=
x
2
+
x
+
1
{\displaystyle \Phi _{3}(x)=x^{2}+x+1}
Φ
4
(
x
)
=
x
2
+
1
{\displaystyle \Phi _{4}(x)=x^{2}+1}
Φ
5
(
x
)
=
x
4
+
x
3
+
x
2
+
x
+
1
{\displaystyle \Phi _{5}(x)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1}
Φ
6
(
x
)
=
x
2
−
x
+
1
{\displaystyle \Phi _{6}(x)=x^{2}-x+1}
Φ
7
(
x
)
=
x
6
+
x
5
+
x
4
+
x
3
+
x
2
+
x
+
1
{\displaystyle \Phi _{7}(x)=x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1}
Φ
8
(
x
)
=
x
4
+
1
{\displaystyle \Phi _{8}(x)=x^{4}+1}
Φ
9
(
x
)
=
x
6
+
x
3
+
1
{\displaystyle \Phi _{9}(x)=x^{6}+x^{3}+1}
Φ
10
(
x
)
=
x
4
−
x
3
+
x
2
−
x
+
1
{\displaystyle \Phi _{10}(x)=x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1}
⋮
{\displaystyle \vdots }
특히,
n
{\displaystyle n}
소수 일 경우
Φ
n
(
x
)
=
1
+
x
+
x
2
+
⋯
+
x
n
−
1
{\displaystyle \Phi _{n}(x)=1+x+x^{2}+\cdots +x^{n-1}}
이다.
편집
분해 가능 확대 가 아닌 체의 확대
(
F
p
(
x
)
[
y
]
/
(
y
p
−
x
)
)
/
F
p
(
x
)
{\displaystyle (\mathbb {F} _{p}(x)[y]/(y^{p}-x))/\mathbb {F} _{p}(x)}
y
∈
F
p
(
x
)
[
y
]
/
(
y
p
−
x
)
{\displaystyle y\in \mathbb {F} _{p}(x)[y]/(y^{p}-x)}
p
y
(
X
)
=
X
p
−
x
∈
F
p
(
x
)
[
X
]
{\displaystyle p_{y}(X)=X^{p}-x\in \mathbb {F} _{p}(x)[X]}
이다. 이 경우,
F
p
(
x
)
¯
{\displaystyle {\overline {\mathbb {F} _{p}(x)}}}
p
y
(
X
)
=
(
X
p
−
(
x
p
)
p
)
=
(
X
−
x
p
)
p
{\displaystyle p_{y}(X)=(X^{p}-({\sqrt[{p}]{x}})^{p})=(X-{\sqrt[{p}]{x}})^{p}}
이다. 즉,
p
y
{\displaystyle p_{y}}
![{\displaystyle {\mathfrak {J}}_{a}=\{p\in K[x]\colon p(a)=0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb9fdf137e253d3d3db3a1e15a2e105aed489769)
![{\displaystyle {\mathfrak {J}}_{a}\subseteq (x)K[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a7eb94b9aee3db7f52b165c25aead1b166dce5b)
![{\displaystyle K[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a9e6c2ac2830d6a9abe078b47450777c41d69a9)
![{\displaystyle p_{a}(x)\in K[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c13b0b449cf9c56feaf819cbe69ef1d9266247b6)
![{\displaystyle p_{a}\in K[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a06fa926a790bf4c8741be049da51beb5bd4eced)
![{\displaystyle p_{a}(x)\in K[x]\subset {\bar {K}}[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6672346f37a7511aa282f45877659d815e9c37fb)
![{\displaystyle p_{a}(x)=x-a\in K[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66d3bf95efeb354b7148cc2cfca6433477d8d24c)
![{\displaystyle x^{2}-d\in \mathbb {Q} [x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cda80b197230ca97c318bb20d697b9803549321)
![{\displaystyle (\mathbb {F} _{p}(x)[y]/(y^{p}-x))/\mathbb {F} _{p}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b278b1df3cafcf6339c510bd785bef45b4ec2ce8)
![{\displaystyle y\in \mathbb {F} _{p}(x)[y]/(y^{p}-x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c1dba34e4a4d588c69c37474cc8ddaab12de73a)
![{\displaystyle p_{y}(X)=X^{p}-x\in \mathbb {F} _{p}(x)[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/632b2ddbc72c558a4994a51675e7233bf0860ad4)
![{\displaystyle p_{y}(X)=(X^{p}-({\sqrt[{p}]{x}})^{p})=(X-{\sqrt[{p}]{x}})^{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5bd7cd543c5f8e524c07d4665db20dc62876c19)
